随机波浪作用下自升式平台的极值响应估计

2019-12-31许超超

上海交通大学学报 2019年12期

许超超，倪萍，顾颖，何军

(上海交通大学船舶海洋与建筑工程学院，上海 200240)

作为一种移动式钻井装备，自升式海洋平台在我国海上油气资源开发中占据着重要地位.在自存和作业工况下，自升式海洋平台均遭受随机波浪的作用.平台运动方程的非线性导致平台的振动响应往往是非Gaussian分布的随机过程.由于自升式海洋平台的可靠性及风险评估是基于平台的极限状态进行的，所以确定随机波浪荷载作用下平台响应的极值分布，特别是极值分布的尾部(超越概率约为10-5～10-3)，是非常有必要的.基于上述两个原因，研究随机波浪荷载作用下自升式海洋平台的极值响应估计问题，虽然比较困难，但具有非常重要的工程价值.

到目前为止，研究人员已经提出一些结构或海洋平台的极值响应估计方法.Shinozuka[1]提出简单结构(如线性结构)极值响应估计的Monte Carlo(MC)模拟方法，但对于非线性结构，MC模拟方法所需的时间较长，且计算精度难以保证.Bucher[2]基于MC模拟方法提出一种渐近抽样法，该方法仅需较少的样本数量(几千个样本)即可准确地估计线性或非线性结构的极值响应的尾部及微小超越概率.然而，这种渐近关系只对标准正态空间中的极限状态函数成立，当安全界限发生改变时，需要重新进行抽样.Luca等[3]采用尾部等价线性化法对一个平稳Guassian波浪过程作用下的自升式海洋平台进行横荡响应分析，结果表明：尾部等效线性化法对海洋结构的平稳响应分析具有良好的适用性；对于具有非平稳响应或高可靠性的结构，尾部等效线性化法的计算精度及效率明显降低.Balesdent等[4]在Kriging抽样法的基础上，提出一种方差缩减的MC模拟方法，工程试验结果表明，该方法在样本数量较少时仍有较高的计算精度.文献[5]假设结构极值响应分布近似服从移位广义对数正态分布(SGLD)，并结合两支撑点参数估计法，提出一种估计结构极值响应的加速模拟方法，相比于MC模拟方法，该方法大大提高了计算效率及计算精度.

基于SGLD的极值估计方法已被用于非线性结构的随机地震响应的极值估计中[5-6].由于自升式海洋平台运动方程的非线性来源于非线性的波浪力，而不是来源于结构的滞回恢复力，该方法是否适用于随机波浪作用下自升式海洋平台的极值响应估计，需要进一步研究.本文通过发展基于SGLD的极值估计方法，提出一种随机波浪作用下自升式海洋平台极值响应的估计方法，并通过实际平台的极值响应分析验证所提方法的有效性.

1 随机波浪作用下自升式海洋平台的运动方程

设O-xyz坐标的z轴垂直向上，x轴垂直纸面向外，y轴水平向右.对于随机波浪荷载作用下的自升式海洋平台，其力学模型可简化为一个单自由度系统，且通常具有类似于结构振动第一振型ψ(z)的整体变形.因此，自升式海洋平台的随机振动方程可写为[7]

(1)

考虑到波浪荷载的随机特性，需要重点分析平台随机振动的极值响应.平台横荡位移的极值响应定义为

(2)

式中：T为平台振动持时.

对于小尺度海洋结构(D/L≤0.2，D为桩径，L为入射波波长)，Morison于1950年提出作用在海洋结构物单位长度桩柱上波浪力的计算公式[8]：

(3)

式中：第1项为拖曳力；第2项为惯性力；v(z,t)和a(z,t)分别为水质点的水平速度和加速度；ρ为海水密度；CD为拖曳力系数；CM为惯性力系数.

由式(3)可知，水质点速度项v(z,t)|v(z,t)|使得Morison力表现出非线性的性质.采用随机等价线性化方法，将式(3)中的速度项作线性化处理，则可得

(4)

式中：σv为v(z,t)的均方差.随机波浪力的等价线性化表达式为

(5)

当海洋结构位移速度相对于水流速度不可忽略时，Morison方程需做相应修改，修改后的Morison方程可表示为[8]

(6)

(7)

式中：σΔv为Δv的均方差

2 自升式海洋平台的极值响应分布模型

自升式海洋平台的非线性性质使得从理论上推导平台极值响应的精确解变得非常困难，因此需要选择合适的分布模型来近似估计该平台的极值响应分布.Low[9]基于移位对数正态分布模型及指数幂分布模型，提出具有4个参数的SGLD模型.对于服从SGLD的随机变量C，其概率密度函数表达式如下：

(8)

式中：s为平台横荡响应位移；b为位置参数；θ为模参数；γ>0,κ>0分别为型参数(双参数)；系数α的表达式为

(9)

Γ(·)为伽马函数.由式(8)可得SGLD模型的累积分布函数理论表达式为

(10)

式中：

为不完全伽马函数.

由于SGLD模型综合了移位对数正态分布及指数幂分布模型在偏态及峰态上的分布特性，在形状上拥有足够的灵活性，所以特别适用于近似估计平台极值响应的分布，尤其是尾部分布.

目前，估计SGLD模型中的4个参数常采用矩方法、最大似然法等方法.但是，这些方法的计算量大且效率不高，对微小首次穿越概率问题的尾部估计不够准确，并不适用于非线性随机振动系统.He等[5]提出“两支撑点参数估计法”用以提高计算效率.该方法的基本思想：由随机模拟方法估计出两个较大的超越概率P1≈10-1，P2≈10-2及两者对应的样本点s1、s2；在两个支撑点(s1,P1)和(s2,P2)已知的情况下，分别用1-P1和1-P2替换式(10)中的FC(s)，并用s1、s2替换变量s，得到下列非线性方程组：

(11)

式(10)中的b及θ可由γ及κ确定[9]，故非线性方程组式(11)实际上含有两个独立变量γ和κ，可由牛顿迭代法求解，进而得到自升式海洋平台极值响应的近似SGLD.由于超越概率P1和P2可通过较少的响应样本进行估计，使得该平台的极值响应及其尾部分布的估计效率大大提高，加快了随机模拟的收敛速度.

3 随机波浪谱和自升式海洋平台的响应样本

大量海浪实测记录统计分析表明：近海结构物所受的随机波浪力是均值为0的平稳随机过程.因此对于一般海况，可以认为其波高是服从Gaussian分布的.这里考虑线性长峰波，则η(y,t)为[7]

(12)

式中：εi为相位差；ωi和ki分别为离散频率和波数，

单位长度桩腿上作用的波浪力q(y,z,t)可以通过修改后的Morison方程计算，代入相应参数后可得

|v(y,z,t)-vleg(y,z,t)|

(13)

式中：v(y,z,t)为y处水质点的水平速度；vleg(z,t)为自升式平台桩腿的速度，

φ(y,z,t)为波势.对于线性单向波，位于φ(y,z,t)处水质子的水平速度为[7]

v(y,z,t)=

(14)

vi(y,z,t)=

图1 平台响应样本计算流程图Fig.1 Calculation flowchart of platform response sample

4 算例分析

4.1 自升式海洋平台模型及其响应样本

研究所用自升式海洋平台为文献[10]中使用的平台，其简化示意图如图2所示.假定：d=90 m；平台主体位于3条具有相同结构的桩腿上，每条桩腿长Lleg=80+35.2=115.2 (m)；考虑单项波流向位于y=0 m处的2条桩腿，上波腿和下波腿间的水平距离Δy=52 m.

图2 简化后的自升式海洋钻井平台模型(m)Fig.2 Simplified model of jack-up platform model (m)

由于桩腿下部属于铰接构造，而上部与船体之间属于刚接构造，故其基本振型取为[7]

(15)

图3为y=0 m和y=52 m桩腿处的5个随机海浪波高样本；由4阶Runge-Kutta法求得的、与这些波高样本相对应的自升式海洋平台横荡响应样本如图4所示.

图4 5个平台响应样本Fig.4 Five platform response samples

4.2 极值响应及超越概率估计

重复上述数值模拟求解过程105次.假设平台横荡的安全界限ζ=3.7 m，则在10万个样本容量下得到平台横移的超越概率Pf=9×10-5，相应的可靠度指标β=3.745 55.

假设两个支撑点处的超越概率为P1=10-1，P2=10-2，由 2×103～5×103个极值样本确定两个超越概率较大的支撑点(s1,P1)和(s2,P2)，利用两支撑点参数估计法估计移位广义对数正态分布模型的4个参数，从而近似得到结构响应极值的尾部分布函数FC(s).平台横荡位移s>ζ表示失效，故超越概率Pf=1-FC(ζ).由基于样本数N=2×103，3×103，4×103，5×103的SGLD模型获得的超越概率和直接由MC模拟方法计算得到的超越概率对比如图5所示.由图5可见：当ζ≤2.3 m时，MC模拟方法获得的计算结果与基于SGLD模型得到的近似结果较为吻合；当ζ>2.3 m时，由于样本容量(2×103～5×103个)太小，MC模拟方法并不能给出合理的超越概率估计值.