用多元函数值域法巧解一个最值问题

贵州省毕节市梁才学校 (551700) 翁文建

题目设实数a,b,c,d∈[-2,2]，且a+b+c+d=0，求a3+b3+c3+d3的最大值.

分析：根据文[1]指出：求多元函数的值域问题有两个方法，一是特殊的化为一元函数求值域，二是一般的认定一个元为自变量，其余元作常量，逐步求一元含参函数值域，最后求一元函数值域，由于题目的次数没超过三次，故可用约束条件a+b+c+d=0消去一元化为约束条件为不等式组的三元函数求最值，最容易想道的导数法，但很繁，下面用二次函数性质和三元均值不等式简解.

解法1：令z=a3+b3+c3+d3，由a+b+c+d=0得d=-(a+b+c)，又-2≤d≤2，则-2≤a+b+c≤2，∴z=a3+b3+c3-(a+b+c)3=a3-(a+b+c)3+b3+c3=[a-(a+b+c)][a2+a(a+b+c)+(a+b+c)2]+b3+c3

=-(b+c)[3a2+3a(b+c)+(b+c)2]+b3+c3=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-(b+c)3+b3+c3=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-(3b2c+3bc2)

当b+c=0时，z=0；

注：解法1虽然只用了二次函数性质和均值不等式，但仍然很繁，可以再简单些，只用均值不等式解

解法2：在解法1中，得到z=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-3bc(b+c)后，继续化简z=-3(b+c)[a2+a(b+c)]-3bc(b+c)=-3(b+c)[a2+a(b+c)+bc]=-3(b+c)(a+b)(a+c).

当b+c=0时，z=0；

当b+c>0时，z=-3(b+c)(a+b)(a+c)=3(b+c)(-a-b)(a+c)

=3(b+c)(a+b)(-a-c)