圆锥曲线中的“焦点访谈”——由两道模考选择压轴题解法所想

广州大学附属中学 (510050) 韩智明

圆锥曲线作为平面解析几何中的重要内容，在历年高考中占有十分重要的地位，其考查内容丰富，考查方式灵活多样.圆锥曲线问题中一个重要知识点的就是与焦点弦有关的数学问题,也是圆锥曲线考查中的核心问题.圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称此弦为焦点弦.圆锥曲线的焦点弦问题涉及到离心率、直线斜率(或倾斜角)、定比分点(向量)、焦半径和焦点弦长等有关知识.焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体，倍受命题人青睐，在近几年高考和地方模拟考试中频频亮相.题型多为小题且位置靠后的客观压轴题，也有作为大题考查的，笔者在2019年的高考复习备考中发现大量与圆锥曲线焦点弦有关的试题，这些试题总是以一道选填题的形式出现，而从解法和思维方法来看实质上是一道综合大题，它们让老师在教学中无法取舍，让学生在学习中难以掌握.为此，我就带领大家走进圆锥曲线中与焦点弦有关的节目——《“焦点”访谈》！

思路探求：此题作为选填压轴，师生一片哗然，态度贬多于褒，认为试题计算量太大，有小题大做的感觉，另有人认为方法单一，在全面考查学生的学科综合素养能力方面略显不足，但此题能被命题人挑中放到选择压轴题位置，可见其特殊的考查意义，是一种知识考查的回归，重在基本思想和常规思维的考查，强化以逻辑推理和计算能力为主的学科核心素养，究其解题思路即为通过向量坐标化处理策略，找到关系消去点的坐标得到关于斜率的方程即可.

解法2：特殊化，令a=2,b=1，由

例2 (2019年广州市一模考试理11题)

思路探求：此题与例1的题干形式几乎相同，解题思维趋近，不同之处只是命题者用心良苦地把求值问题通过改编成为求最值问题，知识容量扩大，整个试题显得丰富、精彩，其解题思路即为通过向量坐标化消元把所求弦AB的中点到C的准线的距离表示成λ的函数，通过函数的单调性求最值即可.

评析:从例1的解法1和例2的解法来看，其特点重在通解通法，即：通过方程联立、向量坐标化思想找到所求变量之间的关系，从而求解，但是计算量相对较大，有一种小题大做的情形.而例1的解法2仅通过试题的特殊情况处理，以特殊代一般的思想，这对解决选择题也不失是一种很巧妙的求解策略.

从两个试题的形式上来看，虽然有些异同，但究其本质其实是同一类问题，即圆锥曲线上过焦点的弦的问题.圆锥曲线有关焦点的问题研究有很多精彩的美妙的结论，本文不一一谈起.本文拟从圆锥曲线过焦点的弦的问题进行一个简单的“焦点访谈”！

结论1 已知在x轴上的点F是离心率为e的圆锥曲线C的焦点，过点F的弦AB与C的焦点所在的轴的夹角为α(α≠90°)，且|AF|=λ|BF|(λ>0且λ≠1).

图1

同样在抛物线和双曲线中，如图2和图3中，可

图2图3

图4

同理不难得出:

通过对结论1和结论2的证明得到，当点F内分(外分)圆锥曲线的焦点弦所成比为λ、弦所在直线的倾斜角α的正弦(余弦)值sinα(cosα)和圆锥曲线的离心率e三个量，已知其中两个就可以求出第三个量.我们用这个结论再去处理例1和例2，结果发现思维更加清晰，计算愈发简洁.

上面例2的解法2中用到了一个抛物线的焦点弦结论，这个结论不难证明.

上面我们对圆锥曲线焦点弦的“焦点访谈”只是对其中某一个知识点的探究和发现，我们利用探究发现所得到的结论去直接或辅助处理相关的数学问题，问题就会显得简洁明了，可以化繁为简，把复杂的综合大题简化为易懂、会做、熟悉的试题，能快速打开我们解题的思维，增强我们解题自信.师生在数学系列探究活动中发现的结论在学生的大脑中形成了解决此类数学问题的某种熟悉的方法，这种结论的信息会有意识地储存在学生的大脑中，它可以准确地指导我们快速地解题.因此，解题时，我们要重现过去在数学活动中的某些思维过程和已经得到的结论，解题活动其实就是解决和探究数学问题时思维过程的一个总结，当解题活动结束时，回过头来想一想，我们会发现自己在解决问题时的确或多或少地经历了以往的一个过程甚至是在借用某一个曾经的结论.圆锥曲线固然有焦点我们可以“访谈”，其实在浩瀚的数学知识海洋里，只要你用心地发现，你将有无数的“焦点”可以“访谈”！