单生产商-多客户两级供应链缺货库存行为分析

李群霞

（北京科技大学 东凌经济管理学院，北京 100083）

1 引言

在传统库存管理环节下，供应链中的每个成员都有自己的库存管理策略。由于各自的库存管理策略相互封闭，因此不可避免地造成客户的需求与生产商的生产不匹配、不协调现象。供应链库存管理可以打破原有各自为政的库存管理模式，体现了供应链的集成化管理模式，适应市场变化的要求。

Liao、Tsai 和Su[1]在批量订货库存管理模型中允许延迟付款。Aggarwal 和Jaggi[2]假设产品存在变质现象，变质率服从指数分布。Goyal[3]是第一个在批量订货库存管理模型中引入商业信用机制的人。Huang和Hsu[4]在供应链库存管理模型中采用两层商业信用机制，除生产商提供给零售商商业信用外，零售商也可以提供部分商业信用给客户。Rau、Wu 和Wee[5]假设不存在缺货，只研究缺陷品对供应链库存的影响。Viswanathan和Piplani[6]研究共同补货机制，供应商提供一个共同补货的时间，要求所有客户只能在这段时间内补货。为了让客户更容易接受，供应商在这段时间内提供了价格折扣机制。Sucky[7]为了引起客户的积极性，实现库存联合决策协调，提供给客户多种议价机制。Sana[8]在三级供应链库存管理模型中考虑了缺陷品对上级供应商和中级生产商的影响。Wu 和Ho[9]允许存在缺货，将订货点作为决策变量，同时优化订货量、订货点、提前期和订货次数。李群霞[10]研究缺货和缺陷品对库存成本的影响，并采用模糊优化方法进行优化求解。Zhou和Wang[11]分析了缺货和缺陷品对库存成本的影响。李群霞等[12]假设供应链含有一个生产商和多个客户，建立了供应链联合库存优化决策模型。

本文在文献[12]基础上对其作进一步研究，假设供应链中的多个客户都存在缺货情况，根据生产商的生产库存水平变化特点和所有客户的订货库存水平变化特点，分别建立了生产库存模型和缺货订货库存模型，由此确定了供应链缺货库存模型，在此基础上，研究联合优化决策方法以及在联合优化决策下的客户缺货行为对供应链中各个成员的库存成本和库存决策参数的影响。

2 供应链库存描述

文中所涉及的变量及含义见表1，变量中下标“m”表示生产商，下标“b”表示客户，下标“bi”表示第i个客户。

表1 变量及其含义

图1只给出了三个客户和一个生产商的两级供应链库存系统的例子。客户1、客户2 和客户3 的起始库存水平分别是Qb1-Sb1、Qb2-Sb2和Qb3-Sb3，他们的产品需求率分别为db1、db2和db3，当库存消耗完，所有客户开始缺货，在各自的订货周期末达到最大缺货量，分别为Sb1、Sb2和Sb3。假设每个客户都能够瞬时补货，则库存在订货周期结束或者在订货周期起始得到及时补充。对于生产商，以生产率Pm进行生产产品，因此库存水平在不断地变化中，通过客户的订货及时地削减库存水平。当时间到达Tm2时，生产商已生产能满足所有客户在Tm1周期内所需的产品，因此停止生产产品。当时间到达Tm1时，生产商的库存水平正好降为0。

这里存在如下假设：

（1）每个客户的库存在每个订货周期结束或每个订货周期起始能够瞬时补货，补货量或订货量Qbi ＞Sbi；

（2）每个客户都存在缺货现象；

（3）每个客户的产品需求率是线性的；

（4）每个客户的单位缺货成本要大于单位持有成本；

（5）生产商不存在缺货现象；

（6）生产商的产品生产率大于所有客户的总需求率，因此生产商的产品生产时间Tm2小于生产时间间隔Tm1；

（7）生产商的生产量正好满足所有客户的订货量，这说明生产商需要生产等同数量的产品。

（8）生产商一次生产正好满足所有客户订货量的产品，生产完后停止生产。

图1 供应链中各个成员的库存水平变化情况

3 供应链缺货库存模型

3.1 缺货订货库存模型

客户的平均库存成本包括客户的平均订货成本、平均持有成本和平均缺货成本。

（1）平均订货成本：客户的每次订货费用为Abi，每次订货可满足客户Tbi时间内的需求，因此平均订货成本，则平均订货成本可改为

（2）平均持有成本：客户需求率dbi为常数，平均持有库存水平，则持有成本=，平均持有成本=

（3）平均缺货成本：客户需求率dbi为常数，平均缺货库存水平则缺货成本平均缺货成本

综上所述，客户的平均库存成本为：

3.2 生产库存模型

生产商的平均库存成本包括平均生产准备成本和平均库存持有成本。

（1）平均生产准备成本：生产商每次生产准备成本为Am，生产时间间隔为Tm1，因此平均生产准备成本

（2）平均库存持有成本：如图1所示，Tm1时间内，所有客户的总需求率为，另外需求是线性的，因此总需求量为了满足所有客户的产品需求，生产商需要生产个产品。因为生产商的生产率要大于总需求率，即Pm＞Db＞0，因此生产商在Tm2＜Tm1时间内就完成生产指标。因此生产商的平均库存持有成本为：

综上所述，供应商的总平均库存成本为

3.3 供应链缺货库存模型

结合式（1）的客户缺货订货成本模型和式（2）的生产商生产成本模型，供应链环境下的库存模型，即供应链的总库存成本为：

对上式中Sbi分别求一阶导和二阶导，有：

将其代入式（3），可得C：

对上式中Tm1分别求一阶导和二阶导，有：

由式（7）的二阶导大于0可知，式（6）存在最优生产时间间隔，保证式（6）存在最小的库存成本值。令式（7）的一阶导等于0，可得最优生产时间间隔

将其代入式（6），可得C：

继续对式（9）中订货次数mbi求一阶导，并令其为0，即：

整理后可得：

将式（11）代入式（10），并整理可得：

因k＞1，则，因此λ＞0假设成立。从式（12）可知，λ其实与mbi是无关的。对式（9）中订货次数mbi求二阶导：

结合一阶导推导出的式（11）和式（12），可获得最优订货次数

将式（14）-式（17）代入式（1）-式（3）可得客户的最小库存成本、生产商的最小库存成本和供应链的最小库存成本分别为：

4 算例分析

假设供应链由一个供应商和三个客户组成，其参数如下：

（1）客户（一次订货）：Ab1=150 元/次，Ab2=200元/次，Ab3=180元/次；db1=15 000 件/年，db2=10 000件/年，db3=8 000 件/年；hb1=15 元/件/年，hb2=20 元/件/年，hb3=25 元/件/年；sb1=30 元/件/年，sb2=25 元/件/年，sb3=35 元/件/年。

（2）生产商（一次生产）：Am=30 000 元/次；Pm=60 000件/年；hm=8元/件/年。

将这些参数代入式（14）-式（18），可得供应链环境下各个成员的最优库存参数和最小库存成本。

（1）客户1的最优订货次数、最优订货时间、最优订货量、最优缺货量和最小库存成本为：

（2）客户2的最优订货次数、最优订货时间、最优订货量、最优缺货量和最小库存成本为：

（3）客户3的最优订货次数、最优订货时间、最优订货量、最优缺货量和最小库存成本为：

（4）生产商的最优生产时间间隔、最优生产时间、最优生产量和最小库存成本为：

（5）供应链的最小库存成本为：C*=1.278 6e+06。

5 敏感性分析

5.1 缺货量Sbi*对订货量Qbi*的影响

缺货量Sbi*对订货量Qbi*的影响如图2所示，对所有客户的曲线变化趋势都是一样的，Sbi*与Qbi*成反比关系。缺货量对客户3的订货量影响更加明显，因为随着缺货量增大，订货量下降得非常明显。

5.2 缺货量Sbi*对生产时间间隔Tm1*的影响

图2 缺货量Sbi*对订货量Qbi*的影响

缺货量Sbi*对生产时间间隔Tm1*的影响如图3所示，对所有客户的影响都一样，Sbi*与Tm1*没有直接的联系，这个也可以从式（15）得出，Tm1*只与生产商的准备成本Am、生产商的单位持有成本hm、生产商的生产率Pm和客户的总需求率Db有关，与客户的单位持有成本和单位缺货成本无关，因此对于所有客户，趋势都是一样的，都为水平直线的关系。

5.3 缺货量Sbi*对订货次数mbi*的影响

缺货量Sbi*对订货次数mbi*的影响如图4所示，对所有客户，Sbi*与mbi*成正比关系。根据曲线的斜率信息，可以确定缺货量对客户3的订货次数影响更大，对客户2的订货次数影响最小。

5.4 缺货量Sbi*对客户库存成本Cbi*的影响

缺货量Sbi*对客户库存成本Cbi*的影响如图5所示，Sbi*与Cbi*成正比关系。由曲线的斜率信息可知，对客户3的影响最大，对客户2的影响最小。

5.5 缺货量Sbi*对生产商库存成本Cm*的影响

缺货量Sbi*对生产商库存成本Cm*的影响如图6所示，Sbi*与Cm*成反比关系。Sbi*对客户3的库存成本造成的影响最大，对客户1 的影响次之，对客户2的影响最小。

5.6 缺货量Sbi*对供应链的总库存成本C*的影响

缺货量Sbi*对供应链的总库存成本C*的影响如图7所示，Sbi*与C*还是呈反比关系。缺货量对客户3的影响最大，对客户1的影响次之，对客户2的影响最小。供应链库存成本包括客户的库存成本和生产商库存成本，尽管缺货量与客户库存成本的变化关系成正比关系，但是由于生产商的库存成本远远大于客户的库存成本，因此生产商的库存成本决定了缺货量与供应链库存成本之间的关系。由图6可知，缺货量与生产商的库存成本成反比关系，因此缺货量与供应链库存成本的变化也成反比关系。

6 结语

图3 缺货量Sbi*对生产时间间隔Tm1*的影响

图4 缺货量Sbi*对订货次数mbi*的影响

本文对一个生产商和多个客户构成的两级供应链库存系统进行了研究，假设所有客户都存在缺货现象，构建了以缺货量、订货次数和生产时间间隔为自变量、以平均库存成本为目标函数的供应链缺货库存管理模型。联合优化决策方法，在保证获得最小供应链库存成本基础上，可得到最优缺货量、最优订货次数和最优生产时间间隔。敏感性分析表明缺货量对订货次数和客户库存成本成正比关系，但是因为对生产商的库存成本成反比的关系，导致整体上对供应链的库存成本也成反比关系。

图5 缺货量Sbi*对客户库存成本Cbi*的影响

图6 缺货量Sbi*对生产商库存成本Cm*的影响

图7 缺货量Sbi*对供应链库存成本C*的影响