找准学习疑点 点拨学路解惑

杨丹

[摘 要]

“综合与实践”旨在积累数学活动经验，提高学生解决问题的能力。学习“打电话”这类较复杂的数学问题，学生历经原始思考、对比分析、思维蜕变，上升到模型建构、拓展应用的过程。这期间，学生有陷入思维误区的迷惘、最优方案的纠结、思维定式的干扰，教师要依学而教，在解题方向、思维误区、思维转换处和蜕变提升处适时点拨。

[关键词]

小学教学;思维转换;学路点拨

“综合与实践”内容教师难教，学生难学。因为它不像计算教学，算理算法，清晰明了;也不像解决问题：“知道了什么”“怎样解答”“解答正确吗”，有章可循。数学实践活动是灵动的、丰富而开放的，要把生活中的数学与课堂上的数学相联系。由于学生的生活背景、思维发展水平及掌握的知识存在差异，他们分析问题、探究策略的方法和思路有着显著不同，因此课堂教学很难预设、变数大。

我们尝试着依学而教，顺应学生的学习思路，恰到好处地引导点拨，让学生悟出数学本质。以五年级下册“打电话”为样本，在一个多月的反复磨课中，发现学生学习这一内容时，都会在下文这些关键点和拐点中出现困惑。教师适时点拨、顺势而为、指引方向，学习就能朝着预设的目标前行。下面就以“打电话”为例，阐述学路点拨的过程。

“打电话”是在四年级沏茶问题（同一时内能同时做的事同时做）、烙饼问题（锅尽量不空着）的基础上，学习打电话（人尽量不闲着），都是探索把同一时间内能做的事情综合起来统筹安排，就能节约时间的运筹思想，涉及优化思想的学习。我们选取了十几个班级反复实践与反思，发现教师在关键处的适时点拨，能减少很多干扰，让学习更顺畅。

一、在切题处点拨——明明白白做什么

学生看到课题“打电话”，第一反应是：“打电话”学什么？话费问题吗？谁和谁通话次数的问题吗？待各种猜测后，再出示问题情境：“一个合唱队共有15人，暑假期间有一个紧急演出，老师需要尽快通知到每一个队员。如果用打电话的方式，每分钟通知1人，请帮老师设计一个打电话方案。”学生看到题目往往急于解答，提起笔却卡住了：一部分学生茫然不知所措，无从下笔;大部分学生写写画画改改，各种纠结——“如果有不接电话的怎么办？”“要是两个人都打给同一个人，怎么办？”。原因是好多学生题目都没看清楚、一扫而过，急于设计方案根本不关注信息的提取。教学中如果直接把题目放下去，学生会受现实情况的干扰，课堂效率低下。为了减少干扰因素，提高课堂高效，需要教师在切题处点拨——先提取信息，再阅读方案设计提示。

（一）在信息提取处点拨

让每一个学生都动动笔提取信息：要通知的人数、通知的方式及用时、对于通知的要求。学生认认真真去阅读与理解问题信息，避免盲人摸象。别小看这2分钟提取信息，效果立竿见影，把学生东游西荡的注意力快速集中到问题的核心——“尽快”。明明白白知道此问题暂不讨论生活中“打电话”的现实情况，仅从这一问题的数学本质（理想状态、理论可能）方面展开思路。

（二）在方案设计处点拨

给出设计提示，用不同的符号表示老师和学生，图例的区分能有效避免画乱了，说不清等现象。排除各种干扰之后，全体学生用全部心力设计最优方案，注意力集中，教学事半功倍。然后给学生“方案一”“方案二”和“有困难的学生可以参考书本第102页至103页”的提示，这些细节的设计很好地照顾到学生不同的思维水平。课堂中慢慢地……学生自发地打开了书本：有困难的学生看书学习分组设计方案，慢慢思考不被优生牵着走;基础好的学生不断尝试，思考、比较、优化方案。我们可喜地看到学生不再是无助、迷惘的状态，而是积极、仔细地设计方案。真正体现“不同的学生，学习不同的数学”，让每一个学生都投入到数学学习中。

二、在探究处点拨——清清楚楚打电话

学生最优方案的形成，一般要经历三个阶段：“一个一个打”的方案，“分组打”的方案，“知道消息的人都去打”的方案。学生在设计方案的过程中涂涂改改很矛盾，一开始思路杂乱无章，思维难以流畅。各班试教的情况差不多：学困生只能写出“一个一个打”的方案;大部分学生既有“一个一个打”，又有“分组打”的方案;也有小部分优生直接设计出4分钟的最优方案。针对学生差异显著的现状，我们该如何引导呢？需要教师在关键处及时点拨，引领学生借助图示，不断感悟、不斷优化。

（一）在思维误区点拨

误区一：组长同时接到通知。点拨——图中哪里表示同时通知？

好多学生认为组长1，组长2和组长3是同时接到通知的。他们不能根据图示清晰地说出每一分钟各发生了什么事情。需要我们把问题具体化，第一分钟老师打给谁？第二分钟老师和生1同时打给谁？……每一分钟的连线用不同颜色区分，同时通知的用同一种颜色表示。再借助课件，一分钟一分钟出示打电话的过程，让每一位学生都要清楚地知道图中哪里表示“同时通知”。因为“同时”是寻找“尽快”方案的基础，此处不能存在思维误区。

误区二：分的组越多，时间越少。点拨——节省的时间在哪里？

学生总在纠结，是不是分的组越多用的时间越小？课堂先反馈分3组用7分钟，分5组还是7分钟，学生就开始反思了，不同的分组为什么时间相同？再出示6分钟、5分钟、4分钟等方案，在比较中学生自然明白：组越多，用的时间并不是越少。但还有更快的方法吗？学生在努力思考，却苦苦找不到解决的方法，这就需要教师及时点拨——节省的时间在哪里？指引学生去方案中寻找：“哪里是同时通知呢”“还有知道消息的人闲着吗”，学生会找出好多画漏的线，不断改进方案。教学中引导学生广泛参与实践，经历知识的诞生过程，促进学生在活动中自然成长。

（二）在思维转换处点拨

走出了分组误区，学生找到了知道消息却闲着的人，不断增加连线补充谁通知谁。画着改着，学生的思维慢慢指向“如何才能让更多的人参与通知”。思维转换的契机来了，此时教师及时点拨——朝同时打的方向思考……课堂留白，静待花开。学生顿悟：哦！我知道了：老师先打给1号，老师和1号一起打给2号3号，然后老师和1号2号3号，一起打给下面的4个人，最后8个打给8个。告别了盲目画图，越画越乱的现象，在理解基础上画出的示意图有了质的飞跃，令人耳目一新：

（三）在思维定式处点拨

学生在描述设计方案时总喜欢用纵向的，以不同的时间为序来说明。如第一分钟老师打给1号，第二分钟老师和1号打给2号3号……如何突破思维定式转换思维，引导学生以横向的同一时间为序思考呢？我们需要引导学生反思：每一分钟各有哪些人在同时打电话？对“哪些人在同时打电话”的思考，可以明晰思路，对方案理解得更透彻。紧扣“同时”，寻找“尽快”，教师点拨——让知道消息的人都去通知，指引学生反思“只要知道消息的人都去通知，至于是老师通知还是学生通知都不重要”，从而顺利建立“纵向图——横向图——表格”的联系。

“知道消息的人都去通知”，学生的思维直指数学的本质——下一时间被通知人数与之前人数的关联，简洁清晰的图示巧妙建立了图与表的联系。这种剥离现象的简化，以另一种更美妙的数学抽象，让规律探索水到渠成。从复杂到简单，从低效到高效，从基本到优化，这正是学生认知规律的真实体现。

三、在拓展处点拨——真真切切悟倍增

华罗庚说：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之迷，日用之繁，数学无处不在。”数学学习需联系实际，关注学生的亲身感受，让学生感受到生活中处处都有数学问题，拓宽学生的知识面。

（一）拓展：打电话——33分钟通知全世界

每分钟通知1人，通知全世界75亿人，需多长时间？学生第一反应——“通知全世界？可能吗？那要很长时间吧？”点拨——大数据的震撼。先出示1分钟到10分钟，学生逐个计算知道消息的总人数2人、4人、8人、16人、32人、64人、128人、256人、512人、1024人，在精准计算中慢慢感受几何倍增。11分钟到20分钟，从几千到几万到1048576，学生激动了“哇，哇，这么快”！最后到第32分钟有4294967296人，再过1分钟，仅仅是1分钟就能翻倍成8589934592（80多亿）人，全班沸腾了。“倍增，倍增，不可思议的倍增……”，学生沉浸在大数据的震撼中，久久难以平静。

（二）拓展：细胞分裂——生命的力量

细胞分裂，借助动画点拨——几何倍增的视觉冲击。从单细胞、一分为二到密密麻麻，在细胞不停分裂的课件播放中，学生不断追问“还有吗？还有吗……”，学生真真切切感受倍增带来的视觉冲击。事实上，科学就是起因于人类的好奇心和对自然界无尽的追问。再补充介绍细胞是构成飞禽走兽、苍松翠柏的基本单位，从简单有序的细胞分裂，拓展到纷繁复杂的大千世界，感悟生命的美妙和神奇。

拓展（一）33分钟通知全世界，从数学的角度，用数据精准刻画倍增;拓展（二）细胞分裂，从科学的角度，用图形形象演绎倍增。在数形结合的基础上，还可以再提升到模型的建构，生成思维品质的独创性和敏捷性。

“打电话”这类较复杂的实践活动的学习，学生历经原始思考、对比分析、思维蜕变，上升到模型建构、拓展应用的过程。教师要引导学生不斷思考、发现问题，唤醒学生已有的知识基础和生活经验，在解题方向、思维转换处和蜕变提升处点拨。在活动的（下转第42页）（上接第28页）过程中，由于个体的差异，并不是所有人都有达到最优策略的能力，教师要充分尊重学生的思维差异，让不同思维层次的学生在活动中得到应有的、不同的发展。

“综合与实践”活动重在“做”，更重在对实践活动过程中的思考，重在在思考基础上的拓展提升。教师一方面要给予学生充分的支持，另一方面又不能剥夺学生在实践活动中的独立性。依学而教就是要紧抓学生在学习之路上的思维误区、思维转换、思维定式这些关键点，顺应学路、点拨渐进。引领学生分析问题、探寻思路、落实活动，并及时反思活动过程，从中积累数学学习的经验，感悟数学推理、数形结合、优化、模型等思想方法的魅力。

[参 考 文 献]

[1]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[2]小学数学课程教材研究开发中心.教师教学用书（2010年版）[M].北京：人民教育出版社，2017.

[3]李光树.小学教学学习论[M].北京：人民教育出版社，2014.

（责任编辑：李雪虹）