在挖掘知识本质的过程中培育数学核心素养

唐明超

摘 要：本文基于核心素养视角对试题背景进行解读、难点剖析与整体评价，聚焦核心素养培育途径，谈如何在解决实际问题的过程中发展核心素养.认为素养的发展与培育应该回归自然生长状态，在挖掘知识本质的过程中潜移默化地提升能力并发展素养，立足基础知识，领悟数学基本思想，探寻并尊重知识的逻辑发展规律，知其然并知其所以然，循序渐进地发展解决实际问题的综合能力与核心素养.

关键词：知识本质;挖掘;核心素养

1 试题呈现

題目 （2019年云南省中考数学23题）如图1，AB是⊙C的直径，点M，D在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2=DB·DA.延长AE至点F，使AE=EF，设BF=10，cos∠BED=45.

（1）求证：ΔDEB∽ΔDAE;

（2）求DA，DE的长;

（3）若点F在B，E，M三点确定的圆上，求MD的长.

2 基于核心素养的试题解读

2.1 试题背景解读

题目以圆为背景，以垂直关系为命题要素，以点线、线线位置关系为研究重点，聚焦相似三角形基本性质，呈现了一道外表朴实无华却内涵丰富的中考试题.注重考查中位线、直径所对的圆周角是直角、三角形相似与全等的判定定理及性质、锐角三角函数等基础知识;渗透数形结合、转化与化归、函数与方程等数学思想;考查数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等数学核心素养.

2.2 难点剖析

考查以圆为背景的证明与计算的试题往往具有高度的抽象性，对逻辑推理能力和数学运算水平要求较高，如何将问题进行聚焦与转化，实现抽象问题直观化，复杂问题简单化是解题的关键.相似三角形的证明与应用，边角关系的合理转化与计算，对隐藏知识点的挖掘以及数学模型的构建都是解题的难点所在.

2.3 试题整体评价

整体来看本题是一个好题，不偏不怪，紧紧扣住基础知识与基本思想方法，基于学生的元认知发展水平进行题目设计，在学生的最近发展区设置问题，具有起点低、有坡度、结构严谨等特点，既能检测学生对基础知识的理解与掌握情况，还能够有效区分学业水平发展层级，具有较好的区分度和选拔功能.试题突出素养立意，注重数学思想方法的渗透，强调对问题本质的挖掘，引导考生在分析、解决问题的过程中体验知识的发生与发展过程，将知识的检测与问题的解决过程置于知识的发展逻辑之中，有效引导学生思考探究并解决实际问题，从而实现揭示问题本质，感受知识的发生与发展过程，真正获得知识积累与能力提升.

3 基于试题的解析谈核心素养的培育途径

3.1 转化与化归思想与数学抽象

试题重在考查学生对知识本质的理解与掌握情况，如第（1）小题要求证明三角形相似，但是题目并没有直接给出边长或是边长的比例关系，而是以切割线定理的等式给出，一方面考查学生能否将等式转化为三角形对应边长的比例;另一方面检测学生对切割线定理本质的探究活动经验的积累水平.试题图形特征及其几何关系具有较强的抽象性，考查学生数学抽象素养发展水平的同时检测学生将抽象问题进行合理转化的意识和能力.

分析整个证明过程，明确解题任务，制定解题步骤，发现要证明有一个公共角的两个三角形相似只需要证明两邻边对应成比例即可，成功实现问题转化.直接由已知条件DE2=DB·DA得DEDA=DBDE，在△DEB与ΔDAE中，因为∠D=∠D，所以ΔDEB∽ΔDAE.

3.2 函数与方程思想与数学运算

第（2）小题看似普通，但是设问背后却隐藏着较复杂的推理与计算过程.比如要求DA的长度既可以考虑构造三角形直接求解，也可以考虑先求解AB与BD，再间接计算DA.解题可紧紧围绕已知条件，结合图形特征及其几何关系先求出AB=10，AE=8，BE=6，再根据角与角的等量代换挖掘出CE⊥DE与BF⊥DE这两个隐含的垂直关系，接下来运用锐角三角函数及三角形相似比得出正确答案.整个解题过程思路清晰，根据已知条件不断挖掘隐含的等量关系，最终得出正解.

如图2，取DE与BF的交点为G，由已知得CE为ΔABF的中位线，所以CE=12BF=5.从而AB=10.

由∠AEB=∠FEB=90°，得Rt△AEB≌Rt△FEB.

在Rt△AEB中，由cos∠BED=45=cos∠EAD=AEAB，解得AE=8.

由勾股定理或锐角三角函数可得BE=6.

因为∠AEC+∠CEB=∠DEB+∠CEB=90°，

所以CE⊥DE.从而BF⊥DE.

由cos∠BED=45=EGEB，解得EG=245.

在Rt△BGE中，由勾股定理或锐角三角函数可得BG=185（当然此处也可以用Rt△BGE∽RtΔBEA得到）.

再由Rt△CED∽Rt△BGD得CEBG=CDBD=EDGD，即有5185=5+BDBD=245+GDGD.解得BD=907，GD=43235.

从而DA=DB+BA=1607，DE=EG+GD=1207.

显然，本题的解答过程较复杂，不够简练，思路虽然清晰但是方法不是最优，值得改进.通过分析以上解题过程发现，可以省去中间求解BG与GD的步骤，只需要用好第（1）小题的结论ΔDEB∽ΔDAE即可.因为在ΔDEB与ΔDAE中有DA与DE，如果能用好三角形相似，找到已知与未知之间的联系和桥梁，即可顺利解题，步骤如下.

在Rt△ABE中，由cos∠BED=45=cos∠EAD，解得AE=8，BE=6.

因为ΔDEB∽ΔDAE，所以DEDA=DBDE=EBAE=68.

因为DB=DA-AB=DA-10，

所以DEDA=34，DA-10DE=34.解得DA=1607，DE=1207.

用好函数与方程的数学思想在很大程度上简化了计算过程，省去了中间量的求解，而且自然而然地将抽象问题直观化，不必重复寻找相似三角形进行未知量之间的转化，实现了优化数学运算的目的，发展了学生的数学运算核心素养.

3.3 数形结合思想与数学建模

仔细审题不难发现，要能准确求出DA与DE，关键在于弄清点D与点A，B，E三点之间的关系，所以问题即可转化为求解点D的坐标.又因为题目中活跃着垂直这个特殊的几何关系且有AF⊥BE，可以考虑建立平面直角坐标系求出点D的坐标，从而实现解题.

根据已知条件及（1）中结论可建立如图4所示的平面直角坐标系，则A（-8，0），B（0，6），C（-4，3），所以lAB∶y=34x+6，lEC∶y=-34x.

设D（m，n），lED∶y=kx，因为∠AEC+∠CEB=∠BED+∠CEB=90°，所以CE⊥DE.

所以-34×k=-1，解得k=43，即lED∶y=43x.

联立方程y=43x，y=34x+6，解得D（727，967）.

过点D分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为点P，Q，在Rt△DQE中，m=DQ=DEsin∠BED=35DE，所以DE=1207.

同理，在Rt△DPA中，n=DP=ADsin∠DAE=ADsin∠BED，所以DA=1607.

从以上解题过程可以看出，抓住关键因素，合理建立数学模型，将纯几何问题转化为代数运算，实现了数与形的有机结合，使得问题更加简单化、直观化，有效降低思维难度.

3.4 挖掘问题本质与逻辑推理

试题的整个证明与计算过程均涉及逻辑推理数学核心素养的考查，而且对学生的逻辑推理能力要求较高.第（3）小题先要根据已知条件找到四点所确定的圆，其次设法求出MA，最后得到MD的长度，突出考查学生的逻辑推理能力和分析、解决问题的能力.首先以BF为直径作圆交AD于B，M两点，此时B，E，F，M四点共圆，实现了第一步的成功推理.要求MD，只需求BM.易知Rt△DGB∽Rt△FMB，所以DGFM=GBMB=DBFB.由（2）知BD=907，GD=43235，BG=185，BF=10，代入计算得MB=145，从而MD=BD-BM=35235.整个解题过程紧紧扣住前两题的解答成果，基于逻辑推理素养发展水平找到了已知与未知之间的逻辑联系，从而成功得出答案.

如果仔细观察图形并用好图象特征容易发现可直接在Rt△AMF中求解AM.因为BF为直径，点M在圆上，所以又产生新的垂直关系，可以将问题进行适当转化放置于同一个直角三角形中，利用锐角三角函数得出MD，这样既可以省去复杂中间量的求解，也可以实现解题的优化，过程如下：

如图3，∠BMF=90°，所以cos∠FAM=cos∠BED=AMAF=45.所以AM=645，所以MD=AD-AM=35235.

4 结束语

核心素养是个体发展水平的具体体现，核心素养的培育关键在于发展学生发现并提出问题，思考并解决问题的综合能力.发现问题的过程就是探究知识本源的过程，摆脱题海战术的有效途径就是尝试对知识本质进行探究，尽可能还原知识的发生与发展过程，掌握知识的逻辑发展规律，构建知识网络，立足四基，发展四能，逐步学会用数学的眼光观察世界，用数学的思維思考世界，形成适应社会发展所必需的的关键能力和必备品格.

核心素养看不见也触不到，因为它的形成和发展具有过程性和循序渐进性，将素养的发展过程回归自然状态，在寻找知识本质的过程中培育和发展核心素养，实现知识和素养水平双重提升，而且知识的积累和素养水平的提升可形成互补效应，最后都将作用于实际问题的解决和处理能力上来.

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（收稿日期：2019-08-28）