板几何中迁移半群的本质谱型

(上饶师范学院 数学与计算机科学学院 ，江西 上饶 334001)

本文研究以下迁移方程的初值问题:

(1)

式中，H为正有界线性算子，即平行板的左右面上的周期边界算子，即

(2)

近年来，对方程(1)的研究工作较多[1-5]。板几何中，在L1空间，具均匀介质、各向异性、非连续能量的迁移方程相应的n阶余项Rn(t)(n≥1)的弱紧性怎样？这是一未解难题，但它的弱紧性能精确的表述迁移方程解的渐近行为。其中K.Latrach在文献[1]中，在L2空间，对具连续能量、各向同性的反射边界条件的迁移方程讨论了R2(t)的紧性。王胜华对具结构化的细菌种群中迁移半群余项的弱紧性问题进行了讨论[2-3],文献[4]证明了这类细菌种群生成的R9(t)在L1空间上是弱紧的。上述结果在表示方程(1) 解的渐近行为时都要求初值条件满足：φ0∈D(A2)，且迁移半群本质谱型的一致性和本质谱的稳定性如何？这一难题没有解答。 受文献 [5] 的启发,本文应用比较算子方法，通过构造算子及相关半群方法,将文献[1]的条件和结果都进行了推广,即证明了该迁移方程生成的正C0半群的n阶余项Rn(t)(n≥1)的弱紧性，从而获得该迁移半群本质谱型的一致性，本质谱的稳定性及迁移方程解的渐近稳定性等结果。

1 准备知识

令X=L1(D)(D=[-a,a]×E×[-1,1])表相域D上有界可测函数全体按范数

构成的Banach空间，定义D的飞入和飞出的边界分别为：

={-a}×E×[-1,0]∪{a}×E×[0,1]

引入边界空间和范数分别为：

其中，～表示这些空间的自然恒等，周期边界条件(2)可表示成：

(3)

在X上定义算子

(4)

(5)

由式(1)-(5)，则迁移算子AH可定义为：AH=B+K,D(AH)=D(B)

(6)

对φ∈X，考虑方程：(λ-B)φ=ψ

(7)

经过复杂计算可得，∀ψ∈X，B产生一个正C0半群

(8)

(9)

In(t)φ=φ(sgn(μ)2na+x-μt,v,μ)in(t)

(10)

2 主要结果

先引入本文主要结果证明所依据的主要引理。

引理1 令(Ω,Σ,v)是一正可测空间，Y=Lp(Ω,Σ,v)(1≤p<+)，N和M是L(Y)中两算子，满足0≤N≤M，则

1)当p=1时，若M是一弱紧算子，则N亦然。

2)当1

定理2 若算子K为正则算子，则半群U(t)和V(t)具有一致的本质谱型和相同的本质谱。

证明由文献[7]，定理2.6知U1(t)与R1(t)具有相同的弱紧性。故下面仅需证明

下证F1,n,m紧，定义

In,(t):L1[R×E×(-1,1)]→L1[R×E×(-1,1)]φ→e-σ(v，μ)tφ(sgn(μ)2na+x-μt,v,μ)

其中E:X→L1[R×E×(-1,1)]，R:L1[R×E×(-1,1)]→X

利用Fubini定理知：

作变换，令y=y(s)=x+s(μ-μ′)-μt+sgn(μ)2na+sgn(μ′)2ma

其中

易知：Gt=Ot·E是一正算子， 其中