以“植树问题”为例探讨数学思想方法教学

李林婧

（文山学院 教育科学学院，云南 文山 663099）

《义务教育数学课程标准（2011版）》的总目标中明确提出了“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验）[1]，表明在小学阶段数学思想方法与知识技能同等重要，必需习得。这就好比授人以鱼不如授人以渔，鱼在此为必要的基础知识与基本技能；而渔为基本思想方法与活动经验，有了捕鱼的方法，学生想要鱼也容易多了。

可是，在当前的小学教学中，数学思想方法教学并没有得到足够的重视，教材中潜藏的数学思想方法未能够得到充分应用，有的教师甚至认为数学思想方法讲多了容易增加学生负担。数学思想方法的渗透能不能提高学习效率，小学教师应该如何进行数学思想方法的教学呢？查阅文献时，笔者发现虽然较多研究者提出了数学思想教学的方法和建议，但是都基于理论研究，实践研究较少。因此笔者以人教版五年级上册数学广角——“植树问题”单元为例展开研究，查阅“植树问题”的教学设计与教研论文，通过观察法与个案研究等方法对这一单元教学中可能存在的问题进行梳理，对“植树问题”的数学思想方法教学以及本单元涉及的重要数学思想方法的渗透提出个人思考。

1 关于数学广角——“植树问题”分析

本教学单元主要讨论隔段沿指定路线植树的问题，内容紧贴生活，活动性和操作性比较强，具有积累活动经验、渗透数学思想方法等特征，同时也可延伸到解决其他生活问题方面。但是因为它可存在的变量多、情况多，导致学生学习时出现无头绪的情况，因此教与学都有着较大的探究空间。

1.1 “植树问题”教学内容分析

“植树问题”设计的两个重要变量：坑数，即植树问题一棵树对应挖一个坑，这样描述有利于今后学生演变到对应其他类似问题；间隔，表示两个坑之间有一段距离，间隔数即有几个间隔的问题。

“植树问题”的教学内容中涉及两个等量关系：第一个关系是全长÷平均间距=间隔数；第二个关系是坑数、间隔数之间的关系，需要分三种情况讨论，两端都不栽（坑数比间隔数少1）、仅一端栽（坑数与间隔数一样多）、两端都栽（坑数比间隔数多1）。而实际两个关系式中，坑数只与间隔数有关系，与间距大小，是否为平均间距无关；但是知道平均间距和总长可以求出间隔数。

1.2 “植树问题”涉及的数学思想方法

本教学单元的主要数学思想方法有：抽象的方法，数形结合思想、归纳猜想、模型的方法，分类讨论、类比的思想、化归的方法。如何让学生经历一系列数学活动，积累数学经验，体会、认识这些重要的思想方法，今后如何将此思考方式与方法迁移到其他数学问题上，是教师需要思考的问题。

1.3 “植树问题”衍生或者转化的系列问题

“植树问题”的衍生问题：环形植树问题，方阵植树问题、方阵外圈植树问题等；

“植树问题”的转化问题：“数手指”“锯木头”“装路灯”“摆花盆”“打木桩”“敲钟”“爬楼梯”问题等。

教师在教学中可以尽量收集衍生问题并进行归类，在纵横联系中促使学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识的理解，进一步拓宽思路，激活了思维数学思想方法就能够水到渠成地渗透给了学生[2]。通过对“模型的方法”“化归的方法”的介绍，让学生尝试利用数学思想方法进行知识的迁移与转化，有利于学生体验数学研究，训练思维能力。

1.4 教师教学与学生学习中存在的困难、成因分析及教学处理建议

首先，关于探索。对于教师来说，受课堂时间所限难以给足学生时间细致深入地自主探索，学生自主解决问题的能力难以提升；对于学生来说，教材例题数据大、画图困难，且同时出现两个需要探索得出结论的模型（等量关系）。学生短时间内既要猜想验证得出（两端都种的）模型关系，又要理清题意解决问题，除了接受能力强的同学，多数学生会思路混乱、产生畏难情绪。降低了解决问题的兴趣，遇见问题没有头绪，学生开始生吞活剥地硬套公式，解题就忽对忽错[3]。笔者建议适当改良例题情景，用简单的数据、让学生有充裕的时间经历对“坑数”与“间隔数”的探究和比较，并找到三种情况内在的联系。因为对学生来说，够得着的问题才有兴趣经历猜想、验证和理解。

其次，内容安排。在一个课时内，教师一般只能完成教材例题中“植树问题”两端都栽的这一种情况讨论，到第二个课时才能进行另外两种情况（两端不栽，一端栽）的讨论。这样割裂的方式不利于学生对这三种情况进行充分对比和深入理解，同时也让学生错失了理解分类讨论的最佳时期。

再次，数学思想方法渗透。有的教师本身缺少对数学思想方法的认识与思考，导致本单元的教学讲解不够深入，不能体现“数学广角”编写的初衷。教师讲解不到位，学生建立模型的过程只能靠死记硬背，在解决如环形植树、打木桩等实际问题时，更难以转化应用。对于转化应用，笔者建议将 “植树问题”的系列问题罗列出来，课堂中完成植树模型讨论后，进一步探讨这系列问题如何进行转化求解，并总结“化归方法”，归纳学生解决类似问题的思路。

2 “植树问题”的数学思想方法教学探究

人教版小学数学五年级的 “数学广角”，学习的主要目的是让学生掌握一些重要的数学思想方法，经历自主探索，在生活中逐步增加解决问题的经验与能力，属于思维拓展性学习[4]。通过以上分析，笔者将“植树问题”设计为以探究应用为主线，“数学思想方法”为暗线，由浅入深进行的教学环节。顺序如下：

“数形结合”思想渗透：教学引入改良为，一只可爱的兔子想在它的茅屋旁种一排胡萝卜充饥，请大家帮忙种种地。（课件展示兔子与茅屋图片）如何种呢？学生在这个时候对问题产生了兴趣，通过小组讨论，确定将“一条线段”表示为种一排，一个萝卜一个坑，一个“圆圈”表示为挖一个坑，初步确定问题为在一条线段上画坑。目的：沟通了图形与现实问题的联系，加强了对题意的理解和方法应用。

“分类讨论”的思想渗透：学生开始在线段上画图挖坑，教师可通过现实问题提示两个坑之间要有间隔。坑的个数可进行限制，如果教师能够掌控课堂，也可不加限制。学生画好图后进行小组讨论，找出线段上不同的排列（栽种方法）。经过展示、对比、分析，引导学生描述出分类方法为：仅一端栽、两端都栽、两端不栽。学生在自己的图上标注出种法，小组内互相检查批改。目的：通过此环节，让学生会画图分析“植树问题”的三种情况。

“归纳法”的思想渗透：从“仅一端栽”开始讨论（此处可依据学生喜好选择情况进行讨论）。从画一个坑开始依次到多个坑，通过边画图边数清坑数与间隔数的方法，归纳出坑数与间隔数间的对应关系（教师可点拨观察的顺序）。

“模型的方法”渗透：当学生找到“仅一端栽”情况的坑数与间隔数对应关系时，尝试让学生用数学语言表述并用等式表示为，坑数＝间隔数；则“两端不栽”画图可得端点处少1个坑而间隔数没变化，等式为，坑数＝间隔数-1；以此类推，两端栽为，坑数＝间隔数＋1。目的：学生通过归纳推理与建立模型，更进一步整理三种情况的思路；还可以背个顺口溜，即“与间隔数相比，两端不栽坑少1，仅一端栽坑相同，两端都栽坑多1”。

“化归方法”的渗透：首先教师尝试给出间隔数请学生求坑数，考察学生能否会分类讨论；再给出坑数请学生分情况讨论间隔数，加深学生对模型的理解；然后，教师给出简单的环形植树问题（转化为仅一端栽情况），“数手指”问题（转化为两端都栽情况），“锯木头”问题（转化为两端不栽情况），“钟打点”问题（转化为两端都栽情况），“爬楼梯”问题（转化为仅一端栽情况）等，尝试引导学生通过“植树问题”的学习转化到新的问题模型。目的是让学生初步的感知化归的方法，学会将未知问题转化为已知模型，今后解决问题时能够考虑应用此方法。

总结“数学思想方法”：教师在讲授完植树问题以及植树的相关问题后，及时按讲课顺序总结思路并对应归纳使用的数学思想方法。五年级的学生已经具备通过具体事例理解概念的能力，充分诠释数学思想方法有助于学生的转化应用，教师有必要进行数学思想方法的总结。

以上教学设计，笔者选择暑期四年级升五年级、数学成绩、思维能力均属中等水平的小学生进行教学试验，学时一小时。通过观察学生的学习发现，教学情景越简单有趣，学生越有兴趣参与其中；教学提问越有步骤和针对性，学生的行动力越好；在充裕时间下，学生对于变量越少的探究，建立模型和解决问题的能力越高。对数学思想方法的总结，有助于学生对知识的迁移。通过教学试验后，学生对植树模型以及植树问题的分类讨论清楚明确，对解决此类问题产生了浓厚的兴趣；数学思想方法的应用与概括使学生思考问题的方法和角度更准确，对中等难度问题的解题方法更明确、正确率更高。人教版教材的内容和习题则作为学生自主练习、复习巩固的部分展开。对于教材中稍难的题目，只要学生的思路正确，独立思考时间足够或者有教师稍加点拨就都能够自行转化为已知模型。

3 “植树问题”教学为例的其它教学建议

3.1 学生课后画思维导图

思维导图作为一种笔记方法，它和传统的直线记录方法完全不同，以直观形象的图示建立起各个概念之间的联系，是模拟思维网络系统进行的记忆、归纳和创造的工具[5]。课后学生将课堂中思考的过程、探索发现的规律、解决问题的方法形成书面导图，有助于加深记忆，使得知识结构更加稳定、有条理。同时，教师依据学生画的框架图，可以找到学生学习中的缺漏并及时进行补充强调。

3.2 对学生要求“下有保底，上不封顶”

由于学生思维能力不均衡，接受能力不同，建议教师制定有差异的教学目标，由浅入深地设置问题；进行习题的难度系数归类，按照思维训练层次逐渐拔高（分为基础题、提升提、拔高题等），让学生根据学习能力逐渐选择解决更难的问题。对于接受能力很强的学生，还可以再增设一些开放性作业和问题，拓展学生的思维并从中发现问题。

3.3 教师要有提升自身数学素养的意识

“数学广角”蕴含着的数学思想方法，对部分教师而言可能未曾学习过也是新内容，对于大部分教师而言有一定了解却从未深入探讨过。教师如果缺乏数学思想方法在理论方面的深层次认识，将很难对内容有更深的把握，教学中难免会出现这样那样的问题，唯有不断地学习才能够增加深入理解[6]。

数学思想方法是数学的精髓，正如米山国藏所说“在学校学的数学知识，毕业后若没有什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思维方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终生受益[7]。”然而，教科书中的很多数学思想并不是显而易见的，甚至体现得还不够，教师要在深挖教材的基础上，采取多样化的形式把蕴含在其中的数学基本思想凸显出来，有意识地对数学基本思想进行升华和提炼[8]。数学基本思想作为义务教育课程标准的四基之一，对教师的数学专业素养提出了更高的要求。希望通过本论文能够增加小学教师对数学基本思想及数学广角认识的思考，同时对今后“植树问题”的教学思路提供一定的参考。