巧用“浓度三角”快速解题

黄旭军

“最近作业本上出现了一类计算量非常大的题目，大家解题要花费很长时间！”数学课代表说完，叹了口气。

数学老师看了看题目，一脸哭笑不得的样子：“你们用列方程来解题，虽然省力，但会花很多时间！我今天带来的‘秘方专‘治这类题目。”

数学老师说完，便在黑板上写了些题目。

例1 有浓度为20%的盐水300克，要用它配制成浓度为40%的盐水，需要浓度为70%的盐水多少克？

已知有浓度为20%的盐水300克，向其中加入70%的盐水后，浓度会有所增加。要配成浓度为40%的盐水，这里加入的盐水质量未知，配好后的盐水总质量也未知，解题难度比较大。

未知条件多的时候，我们可以用列方程来解决问题。

解：设需要浓度为70%的盐水x克，配好后盐水的总质量就是（300+x）克。根据盐水中所含盐的总量不变，可得：

300×20%+70%x=（300+x）×40%

60+0.7x=120+0.4x

0.7x-0.4x=120-60

0.3x=60

x=200

答：需要浓度为70%的盐水200克。

不过，列方程解题的计算过程有些麻烦，我们来试试“浓度三角法”。

第一步：如下图，画出一个三角形，把已知条件中的数据写在三角形的三个顶点上。

第二步：分别算出写在顶点上的数据，与左右两个数据的差。

第三步：构造等量关系，找出两个差之间的比例。

20%×3=30%×2

也就是说，需要浓度为20%的盐水3份，需要浓度为70%的盐水2份。

第四步：根据上面的份数，求出最终结果。

300÷3×2=200（克）

答：需要加入浓度为70%的盐水200克。

例2 一次数学比赛中，甲队成绩的平均分是78分，乙队成绩的平均分是72分，两队同学成绩的平均分是73.5分。我们又知道乙队比甲队多6人，那么乙队有多少人？

甲、乙两队总成绩的平均分乘以两队总人数，等于甲队的平均分乘以甲队的人数，加上乙队的平均分乘以乙队的人数。

根据题目中所给的已知条件，我们可以先用列方程的方法，来解决这个问题。

解：设甲队有x人，那么乙队则有（x+6）人。

78x+72×（x+6）=73.5（x+x+6）

150x+432=147x+441

150x+432-147x=147x+441-147x

3x+432-432=441-432

x=3

知道了甲队的人数，我们可以进而求得乙隊的人数为x+6=3+6=9（人）。

答：乙队有9人。

当然，这道题我们还可以用“浓度三角”来解答。

第一步：如下图，画出一个三角形，把条件中的已知数据写在三角形的三个顶点上。

第二步：算出左右两个数据的差。

第三步：构造等量关系，找出两个差之间的比例。

4.5×1=1.5×3

78的1份等于72的3份，两者相差3-1=2（份），2份就是相差的是6人，所以每份那3人。72的3份就是3×3=9（人）。

答：乙队有9人。

训练一二一

六年级两个班共有学生100人，其中男生占47%，一班男生占全班人数的35%，二班男生占全班人数的55%，两个班各有多少人？