基于KRLS的pH中和过程建模*

2019-12-20朱瑞鹤

传感器与微系统 2019年1期

朱瑞鹤，李军

(兰州交通大学自动化与电气工程学院，甘肃兰州 730070)

0 引言

pH中和过程普遍存在于化工、污水处理等复杂工业过程中。建立反映pH中和过程系统本质特征的良好模型是进行有效控制的必要条件。早期，神经网络和模糊逻辑系统等方法已广泛应用于pH中和过程建模中[1，2]，并取得了一定的应用效果；文献[3，4]采用Hammerstein及Wiener模型对pH中和过程进行辨识，文献[4]消除了辨识过程中误差累积问题，但该类模型结构表征复杂系统全局性能比较困难；文献[5]利用模糊频率响应估计法对单输出pH中和过程进行研究；文献[6，7]进一步对双输出pH中和过程进行研究。

极限学习机(extreme learning machine,ELM)是由Huang G B等人[8]提出的用于单隐层前馈网络(single-hidden layer feedforward neural network,SLFNs)的快速学习方法，文献[8]将其成功应用于非线性系统建模与控制中。支持向量机(support vector machine,SVM)等基于核学习的计算智能方法，已成功应用于化工过程建模中[9～11]。文献[9]则将核学习方法与偏最小二乘相结合，建立了丁苯橡胶聚合转化率模型，取得了较好的效果；文献[10]利用非线性偏最小二乘回归建立了pH中和过程软测量模型；文献[11]则将最小二乘支持向量机(least squares SVM,LSSVM)方法应用于双输出的pH中和过程的辨识与控制中，取得了很好的效果。同时，考虑到在线学习与时变非线性过程的特性，文献[12]给出了一种用于时变在线自适应过程的核学习方法——核递推最小二乘(kernel recursive least squares,KRLS)方法，其基于近似线性依赖(approximate linear dependency,ALD)技术限制核矩阵的大小，并成功应用于混沌时间序列预测中。鉴于LSSVM等方法在过程建模中的成功应用，针对复杂的非线性pH中和过程，本文提出基于KRLS的核学习建模方法，将其应用于典型pH酸碱中和过程实例中，以进一步提高复杂非线性化工过程的建模精度及计算效率。在同等条件下，本文方法还将与核偏最小二乘(kernel partial least square,KPLS)、核主成分分析—支持向量机(kernel principal component analysis-support vector machine，KPCA—SVM)，核函数极限学习机(extreme learning machine with kernel,KELM)，极限学习机(extreme learning machine,ELM)，SVM，LSSVM等现有方法进行比较，以验证所提方法的有效性。

1 KRLS方法

1.1 基于ALD条件的稀疏化

为考虑是否将数据xt加入字典中，需求得满足ALD条件的系数向量a=[a1,…,amt-1]T，即有

(1)

式中阈值参数μ的取值大小影响稀疏化程度。

考虑k(xi,xj)=φ(xi)Tφ(xj)，由式(1)得到

(2)

对式(2)求解，可得到最优系数向量a及ALD条件

(3)

借助ALD条件，直至t的所有数据均能由字典集合Dt中数据向量的近似线性组合来表示。由式(1)可得

(4)

延伸至特征空间，定义矩阵

1.2 ALD-KRLS方法

针对pH中和过程输入输出数据，完成基于ALD的KRLS方法的训练，建立输入与输出之间的非线性映射关系f(x)。

t时刻，由RLS算法可知，最小化误差平方和满足

(5)

基于ALD的KRLS方法的算法具体实现步骤如下：

(6)

由于xt是字典中的数据向量，相应有

(7)

(8)

(9)

5)迭代计算步骤(2)～步骤(4)，直至所有训练数据依次完成。

若训练数据的数目为l，则KRLS算法的计算复杂度为O(lm2)。

2 pH中和过程实验应用

pH中和过程即通过酸液流入物和碱液反应物之间的中和，检测反应过程流出物的pH值。pH值定义为溶液酸碱度，pH=-log[H+]，其中H+为氢离子。实验中，需对数据进行归一化处理，并采用均方误差(mean square error,MSE)来评价模型的辨识性能。核学习方法均采用高斯径向基核函数，即有

(10)

式中 σ(σ>0)为高斯核函数的核宽度参数。

具有缓冲流的双输出酸碱中和反应过程实验装置如图1所示。

图1 双输出pH中和过程反应装置

设定过程的输入为酸液(HNO3)流量Fa，缓冲液(NaHCO3)流量Fbf,碱液(NaOH+NaHCO3)流量Fb，输出分别为流出物的pH值和CSTR的液位h，系统参数的取值同文献[1]。定义物理量符号如下

wa为电平衡常数，wb为离子平衡常数。则CSTR中的双输出pH中和过程动态模型可表示为

dx/dt=f(x)+g(x)u+p(x)d,c(x,y)=0

(11)

式中x=[x1x2x3]T,x1=h,x2=wa,x3=wb,u=[FaFb]T,d=Fbf,y=[hpH]T,c=[c1c2]，且

(12)

式中A为反应釜的面积，Cv为阀门参数，Wa1～Wa3，Wb1～Wb3为反应常数。CSTR过程中，给定流入溶液流量变化为

Fa(t)=16+4sin(2πt/15)

Fb(t)=16+4cos(2πt/25)

Fbf(t)=0.55+0.055sin(2πt/10)

(13)

根据式(11)描述的机理模型，以及式(13)，产生600组数据集，前300组为训练数据集，其余作为测试数据集。考虑辨识模型如下

ypH(t-1),yh(t-1)]

(14)

式中模型ψ[·]采用KRLS方法建立。

通过交叉验证方法选取KRLS，KPLS，KPCA-SVM，KELM方法的核参数σ=0.1，KRLS最大字典容量mmax=200，阈值μ=0.01。对比实验中，KPLS的潜在变量数目L=50，KPCA-SVM方法中，选取非线性主元数目为20，SVM为线性核函数。单一SVM方法中，SVM采用台湾大学林智仁教授等开发设计的LIBSVM软件完成，惩罚因子c=200,ε=0.01，ELM方法中，隐含层节点数目为120，节点激活函数为Sigmiod函数。

表1给出了在同等条件已有文献及SVM等其他方法结果的精度对比，可以看出，在测试数据集上KRLS方法的精度均明显占优，其中KRLS的精度提高了约1个数量级。

表1 KRLS模型建模性能比较

图2给出了KRLS方法在训练集上的学习收敛曲线，看出，KRLS辨识模型表现出了良好的在线自适应学习特性。图3、图4分别给出了在测试数据集上h通道和pH通道的测试输出与真实值的结果比较曲线，图5给出了在测试数据集上h通道和pH通道的各点测试误差比较曲线，从图2～图5的结果可以看出，在多输出的情形下，KRLS方法呈现出较好的建模性能，验证了该方法的有效性。