面向虚拟仿真实验的匝间短路故障异步电动机模型设计与实现

王攀攀，邓先明，徐瑞东，张建文

(中国矿业大学 电气与动力工程学院，江苏 徐州 221116)

0 引 言

实验教学是高等教育的重要组成部分，是高校人才培养的重要手段，在实现教学目标、提高教学质量方面有着不可替代的作用[1]。传统实验教学存在许多不足，比如开放时间/空间的限制、设备数量的限制等，在一定程度上制约了实验教学环节的质量，以至很难满足当今的教学需求。为此，许多高校开始研究和建立虚拟仿真实验平台[2-4]，这无疑为教学条件的改善、教学方法的改革提供了有力支撑[5-6]。虚拟仿真实验改变了传统实验教学的模式，相当于将实验仪器搬到计算机上，使学生能够方便、安全的进行实验，提高了实验教学的效果[7]。

在虚拟仿真实验中，其核心基础是各种各样的仿真模型。异步电动机模型作为最常用的仿真模型，被广泛应用于《电机学》《电机原理及拖动基础》《现代电机控制技术》《电力拖动自动控制系统》《电气设备故障诊断技术》等课程的实验中[8-10]。目前常用仿真软件无法开展更贴近工业实际的故障状态下的仿真实验，制约了虚拟仿真实验的应用范围。

匝间短路是异步电动机最常见的故障之一，约占全部故障的30%[11]，在实践教学中电动机匝间短路故障和模型常被用于各种实验。目前，电动机绕组故障建模主要采用多回路法[12-13]，该方法可以分析电动机定转子绕组内外部所有回路的电流，并可以计及定转子绕组的布局、空间位置等因素的影响。但是对于本科教学该方法过于复杂、难以理解、且不易采用图形化编程实现。鉴于此，本文从匝间短路故障的特点出发，利用故障与绕组电阻和电感的定量关系，推导出相应的修正矩阵，设计出一种简洁、易懂的匝间短路故障电机Simulink仿真模型，并应用于实践教学。

1 完好异步电动机数学模型

为了便于分析和研究异步电动机的数学模型，常作如下假设：① 三相绕组对称且空间上互差120°，所产生的磁动势沿气隙周围按正弦规律分布；② 忽略空间谐波和齿槽效应；③ 忽略磁饱和及铁芯损耗；④ 各绕组自感和互感皆为线性；⑤ 不考虑温度和频率对电动机电阻的影响；⑥ 为了便于理解，无论异步电动机转子是绕线式还是鼠笼式，都将其等效为绕线转子，并折算到定子侧，折算前后的每相匝数相等。

规定各绕组电压、电流、磁链的方向符合电动机惯例和右手螺旋定则。

1.1 abc坐标系下的数学模型

基于上述假设和规定，静止abc坐标下的异步电动机数学模型主要由电压方程、磁链方程、转矩方程和运动方程组成。

电压方程

(1)

式中:[uasubsucs]T，[iasibsics]T和[λasλbsλcs]T分别为定子绕组在abc坐标系下的三相电压、电流和磁链；rs为定子绕组电阻；P为微分算子。

(2)

式(2)是转子电压方程，其中各变量与转子绕组相对应。

磁链方程

(3)

(4)

式(3)、(4)分别是定转子磁链方程。式中:Lls和Llr分别为定子、转子的漏感；Lss和Lrr分别为定转子绕组的自感；Lsm和Lrm分别为定子三相间的互感和转子三相间的互感；Lsr为定转子之间的最大互感值；θr为定子a相绕组轴线与转子a相绕组轴线间的夹角。由于磁链方程中定转子间的互感矩阵是时变的，故异步电动机模型在静止abc坐标系中是一个时变微分方程。

转矩方程

Te=-npLss[(iasiar+ibsibr+icsicr)sinθr+

(iasibr+ibsicr+icsiar)sin(θr+2π/3)+

(iasicr+ibsiar+icsibr)sin(θr-2π/3)]

(5)

式中，np为极对数。式(5)表示了电量与机械量之间的关系，即电动机内部通过气隙的机电能量转换关系。

运动方程

(6)

式中:TL为负载阻力转矩；J为旋转机组的转动惯量；ωr=dθr/dt为电动机转子的电角速度。由运动方程可知，当负载不变时，可通过控制电磁转矩实现电动机的速度控制。

上述方程表明异步电动机的动态数学模型是一组非常复杂的非线性方程，也是一个高阶、非线性、强耦合的多变量系统。这给模型的分析、求解带来了极大的困难，在实际应用中必须加以简化。

1.2 qd0坐标系下的数学模型

针对异步电动机模型的复杂性，目前常用的简化方法是坐标变换，其基本思路是将交流电动机的数学、物理模型等效变换成类似直流电动机的模型。下面将三相静止abc坐标系下的异步电动机模型变换到任意转速坐标系qd0中。转换矩阵和其逆变换分别为:

(7)

(8)

式(7～8)中，θ为q轴与a轴的夹角。通过变换矩阵，将电机电压、电流、磁链等变量转换到qd0坐标系，其相应的电压方程、磁链方程、转矩方程如下：

电压方程

(9)

式中:[uqsudsu0s]T、[iqsidsi0s]T和[λqsλdsλ0s]T分别为定子绕组在qd0坐标系下的三相电压、电流和磁链，ω=dθ/dt为qd0坐标系的转速。

(10)

式(10)为转子电压方程，其中各变量与转子绕组相对应。

磁链方程

(11)

(12)

转矩方程

(13)

式(9～13)即为qd0坐标系下的完好异步电动机数学模型。在磁链方程中，电感矩阵系数为常数，并且许多项都等于0，表明了坐标变换消除了电感系数的时变性，减少了多变量之间的耦合，因此简化了电机数学模型。

2 匝间短路故障建模

匝间短路故障会导致故障相的有效线圈匝数减少，进而使得三相定子绕组不再平衡。为了便于分析和推导，假设定子绕组为星型连接，且a相发生短路故障，具体如图1所示。

图1 定子a相绕组匝间短路故障示意图

当a相发生Nf匝短路故障时，不但使a相自身的电阻和电感值发生变化，同时还会引起定子相间互感和定转子间的互感发生变化。在推导匝间短路故障之前先定义一个故障因子:

Fsa=1-Nf/Ns

(14)

式中,Ns为定子每相绕组线圈的总匝数。

根据故障因子的定义，在abc静止坐标系下，定子电阻矩阵变为：

(15)

利用式(7)和式(8)，将故障定子绕组电阻矩阵变换到qd0坐标系，则为：

(16)

匝间短路故障除了对定子电阻有影响，同时对定子绕组自感也有影响。根据故障因子的定义，FsaNs为a相发生匝间短路故障后的有效绕组匝数。利用电机线圈匝数与电感值的关系可知，故障情况下定子自感矩阵在abc坐标下为[14]：

(17)

其在qd0坐标系下的表达式为：

(18)

式中:

Lss22=3(Lls+Lss)-3Lsm

同理，可得定转子之间的互感矩阵为：

(19)

式(16)、(18)和(19)即为发生a相匝间短路后对完好电机参数的修正矩阵。而转子电阻与转子自感则保持不变，这是因为定子匝间短路故障并不会影响转子自身的参数。

(20)

(21)

由于在异步电动机中rs比XL要小得多，因此可将rs忽略，从而得到中心点电压与相电压的近似关系：

(22)

在实际匝间短路故障中，短路匝数通常较少，甚至只有1-2匝，因此故障因子Fsa往往接近于1。比如在本文后续实验中，即使短路匝数多达10匝，Fsa仍能达到0.938。根据式(22)可知，此时中性点电位偏移较小，不到相电压的5%，如果仍采用式(9)作为模型的定子电压方程，虽然会引起误差，但是在工程上仍可以接受。但是对于特别严重的匝间短路故障，由于中性点电位偏移较大，式(9)将不再适用，必须重新构建电压方程。其他负载下的中性点电压依据同样思路也可得到类似结论，文献[14]中的分析和实验也恰好验证了这一点。

本文主要考虑实际中较为普遍的、短路匝数较少的情况。在此种故障下，整个故障电动机的数学模型只需将前述修正矩阵分别代替电压方程和磁链方程中的电阻矩阵和电感矩阵即可。

3 匝间短路故障电动机的Simulink实现

Simulink是Matlab下面一种图形化仿真工具包，提供了交互式图形化环境和可定制模块库，能够对动态系统进行建模、仿真和综合分析。在Simulink中，无需大量编写程序，而只需通过简单、直观的鼠标操作，就可构造出复杂的仿真系统。同时Simulink具有非常高的开放性，可以通过框图形式将模型表示出来，并可对仿真结果进行可视化图形显示。因此，Simulink具有适应面广、结构和流程清晰、贴近实际、灵活高效等优点，是学习、分析与设计电机模型强有力的工具。

在Simulink模型库中已有完好异步电动机模块，因此只需从模型库中拖拽出相应电动机模块，设置相关参数，即可实现相关电路的仿真。但是对于故障电动机模型，则需要根据数学模型重新搭建。图2是采用Simulink软件编程实现的定子匝间短路故障电动机模型，可分为3个部分，6个模块：abc转qd0模块、qd0转abc模块、qd0各轴变量计算模块、转矩转速计算模块。

图2 匝间短路故障电机Simulink模型

由于采用的是qd0坐标系的数学模型，因此首先需要利用坐标变换矩阵式(7)将输入电压转换到静止qd0坐标系，具体如图3所示。与其对应的逆变换由于结构相似，不再赘述。

图3 abc转qd0模块

图4 q轴变量计算模块

第3部分是转矩转速模块，如图5所示，先利用转矩方程式(13)计算出电磁转矩，然后利用运动方程式(6)求解出转速。

图5 转矩转速计算模块

4 模型验证及教学应用

4.1 匝间短路故障电动机模型验证

为了验证所建模型的有效性，选择一台型号为Y90S-4的异步电动机进行实验验证。该电机功率为1.1 kW，定子槽数为24，每槽导体数为81。

首先对完好实验电机进行堵转和空载实验，获取模型中需要的电阻、电感参数；然后，将定子a相绕组金属性短接10匝，并使其工作在额定负载下。采集电动机三相定子电流，其波形如图6所示。

图6 实际电动机三相电流

从图6可以看出，a相绕组因为存在匝间短路故障，因此其电流幅值明显要大于其他两相，这也是匝间短路故障最明显的一个特征[15]。

利用实际电动机参数对模型进行设置，并利用式(14)计算出匝间短路故障的严重因子。在Simulink中对匝间短路故障电机模型进行仿真分析，其3相电流如图7所示。

图7 仿真模型三相电流

对比图6和图7，实际电动机的电流与模型仿真电流不但在幅值上很接近，同时在故障特征上的表现也几乎完全一样，这充分说明了所建电机模型的准确性和可行性。

除了容易检测的电流信号，仿真模型还可以产生其它不容易检测的物理量，比如定转子磁链、电磁转矩等。图8即为故障电动机刚启动5 s的电磁转矩波形。从图中可以看出，故障电动机的电磁转矩，与完好电动机相比，其波动幅度大幅增加，且幅值波动的频率为2倍电源频率，这些都是匝间短路故障的特征[16]。

图8 仿真电磁转矩

基于仿真实验的优势，故障电动机模型的建立一方面可以扩展传统课程的实验教学内容，比如在《电机学》和《电机原理及拖动基础》等课程中开展一些更接近实际情况的故障电动机实验；另一方面，也可以为一些新设课程，比如《电气设备故障诊断技术》，开发一些具有一定理论深度的实验，为后续研究生教育作铺垫。

4.2 教学应用

本节以《电机原理及拖动基础》和《电气设备故障诊断技术》课程的综合实训为例，设计基于所提故障电机模型的“虚实结合”教学流程，具体如图9所示。

图9 “虚实结合”的实践教学流程

步骤1完好电动机实物实验。3人一组开展实际完好电机空载、满载和堵转实验，获取电动机参数，体验实际电机的各种运行状态。

步骤2匝间短路故障电动机实物实验(仅有1套实验台，因此该实验为演示性实验)。教师拆装电动机，将a相定子绕组的10匝线圈进行金属性短路，并作空载、满载和堵转实验。加深学生对电动机结构、匝间短路故障的感性认识，让学生认识到电机故障前后运行状态的差异，以及噪声、振动等方面的不同。

步骤3建立实验电动机仿真模型。每位学生在计算机上利用实验所得电动机参数，建立实验电动机的仿真模型。体验实际电动机与数学模型的关系。

步骤4仿真分析电动机电磁关系。加深理解电动机工作原理、等效电路等理论知识，体验电动机故障前后电磁关系的变化。

步骤5仿真分析电动机工作特性。加深理解电动机功率、转速、转矩、电流等各个量间的关系，体验匝间短路故障对电机性能的影响。

步骤6匝间短路故障机理分析。从定子电流、气隙磁链、电磁转矩，逐步到转子电流进行分析；深刻理解匝间短路故障对定子电流、气隙磁链、电磁转矩等物理量的影响。

从步骤3～步骤6，可以在实验室中开展，也可以在课外其他地方进行，克服了实践教学在时间、空间上的限制。上述实施过程不但能充分利用原有实验平台，同时还扩展了实验内容和实验深度，并且能够让每位学生都参与到实验中来，避免了许多学生对实验参与度不高的问题，大大提高了教学效果。

5 结 语

针对虚拟仿真实验的需求，设计了一种基于Simulink的匝间短路故障电动机模型，并将其应用于“虚实结合”的综合实训教学。通过与实际故障电动机对比验证，结果表明：该模型不但能够准确仿真匝间短路故障下电动机的各个物理量，同时具有结构简单、容易理解、方便实现等优点。故障模型的开发与应用扩展了实验教学的内容和深度，并降低了实验成本，同时也提高了学生的参与度与教学效果。此外，该模型虽是采用Simulink软件实现的，但是其设计思路可为其它仿真软件的电动机建模提供参考。