基于T-S模糊模型的CSTR系统广义预测控制

许 娣，佃松宜，高钰凯

（四川大学 电气工程学院，成都 610065）

近年来，工业过程中具有大量的非线性、时滞性、耦合性以及不确定性的受控对象，其建模和控制是过程控制领域中的热点问题[1]。1985年，Takagi和Sugeno提出T-S模糊模型，实现了以任意精度对非线性系统进行逼近，该特点对于解决非线性系统的建模和控制问题开辟了新途径[2]。1987年由Clarke等人提出了广义预测控制算法，该算法具有对数学模型要求较低、鲁棒性强等特点[3]。文献[4]采用了T-S模糊模型，逼近Hammerstein模型的静态非线性特征，采用线性自回归模型求解最优控制效果，并以CSTR系统为例说明该方法的有效性。文献[5]提出了新的无监督模糊聚类算法，将k近邻和模糊c均值方法相结合，控制模拟CSTR系统。文献[6]采用DMC算法对非线性CSTR反应器温度进行控制，即使在干扰和模型适配的情况下，仍可快速地跟踪期望目标。

在此，采用改进的模糊划分聚类算法，对T-S模糊模型的前件参数进行辨识，同时采用带有遗忘因子的递推最小二乘法，对T-S模糊模型的后件参数进行辨识。辨识后可得到CSTR系统的T-S模糊模型，通过对模型转换，进一步得到受控自回归积分滑动平均CARIMA（controlled auto-regressive integrated moving average）模型。

1 T-S模糊模型辨识

1.1 改进模糊划分的模糊c均值聚类算法

模糊c均值聚类算法，是基于目标函数的模糊聚类方法的典型代表，1974年由Dunn提出，在1981年，Bezdek将该方法进一步改进和扩展，建立了较为完善的模糊聚类理论[7]。为克服原始FCM算法的不足，文献[8]提出改进模糊划分的模糊c均值聚类IFP-FCM（improved fuzzy partitions fuzzy c-means algorithm）算法，与原始FCM算法相比，对于数据集X=｛x1，x2，…，xn｝，把这些数据划分为c 类，每一类对应一个聚类中心ci，每个样本j属于某一类的隶属度定义为uij，对于一个单独的样本点xj，引入隶属度约束函数：

构造新的目标函数为

其中

式中：η为模糊度常数，一般取 η=0.01～0.2；式（2）等号右侧的前半部分

为指定权重指数为2后的FCM算法的目标函数；对于等号右侧的后半部分，若数据点xj完全属于第i类，则 uij=1，那么当 i≠j，uij=0 时，

因此，目标函数后半部分的值与模糊化程度呈正相关。

对式（2）采用拉格朗日乘数法，得

式中：λ为拉格朗日乘子。对式（3）取极值，可逐步推导出隶属度uij和聚类中心ci的迭代公式。隶属度uij的迭代公式为

其中

式中：xj为样本；ci为为模糊聚类算法的聚类中心；‖xj－ci‖为欧氏距离；dij为xj与第 i类聚类中心的距离。聚类中心的迭代公式为

1.2 遗忘因子递推最小二乘法

对于 N 组｛y（k），u（k），k=1，2，…，N｝输入输出数据，根据最小二乘法，有取性能指标函数：

式中：λ为遗忘因子。将λ作为对数据施加的时变加权系数，与原始递推最小二乘法相比，能够克服慢时变参数问题。

未知参数θ的遗忘因子递推最小二乘估计值θˆ的公式[9]为

其中，设初始值为

式中：k=1，2，…，N；α为充分大的正实数 104～1010；I为单位矩阵；ε为零向量或充分小的正实向量；一般取 0.9≤λ<1。

2 CSTR系统的T-S模糊模型建模

2.1 CSTR系统的数学模型

CSTR系统的反应是由原料A转化为产物B的过程。CSTR系统的结构如图1所示。

图1 CSTR系统结构示意图Fig.1 Schematic diagram of CSTR system structure

根据能量守恒定律，建立CSTR系统的物料和能量平衡方程，假设nA为反应釜中A的摩尔分数，则物料A的质量平衡方程为

其中

Arrhenius公式为

式中：rA为反应物A每单位体积的反应速率；k为反应物A的反应速率常数，一般可用Arrhenius公式表示。

通过分析各参数之间的关系，建立总的能量平衡方程为

将式（9）代入式（8）和式（10），可得 CSTR 的数学模型：

式（11）中的相关参数及其描述见表1。

表1 CSTR系统的模型参数Tab.1 Model parameters of the CSTR system

2.2 CSTR系统的T-S模糊模型

T-S模糊模型采用if-then规则来描述非线性系统，每条规则代表一个线性子系统。对于MISO系统，T-S模糊模型的规则如下[10]：

其中，Ri为第i条规则；p为输入变量的个数；ny为输出阶次；n1，…，np为输入变量的阶次；t1，…，tp为纯时间滞后。为方便起见，令：

其中

则T-S模糊模型规则可表示为

根据所得到的CSTR数学模型 （11），对CSTR系统进行输入输出数据的采集，得到2000组数据；选择规则数c=6，终止误差ε=10-5，模糊度常数η=0.1，最大迭代次数为100。选用前1500组数据进行训练，剩余的500组数据进行验证。

CSTR系统的辨识模型与实际模型的输出曲线、误差曲线如图2所示。图2a中，3条曲线分别表示CSTR系统实际模型，以及分别采用FCM算法和IFP-FCM算法得到的CSTR系统的辨识模型；图2b中，2条曲线分别表示采用FCM算法和IFP-FCM算法对CSTR系统进行拟合得到的误差曲线。

图2 CSTR系统的辨识模型与实际模型的输出曲线和误差曲线Fig.2 Output curve and error curve of CSTR system identification model and actual model

仿真结果表明，采用FCM算法得到的均方误差为13×10-4，而采用IFP-FCM算法得到的均方误差为8.2714×10-4。因此采用IFP-FCM算法可较好地拟合CSTR系统的反应过程。

采用IFP-FCM算法对CSTR系统进行辨识，选取 qc（t），CA（t），CA（t-1）作为T-S 模糊模型的输入变量；CA（t+1）作为T-S模糊模型的输出变量。T-S模糊模型输入变量 qc（t），CA（t），CA（t-1）的隶属度函数曲线如图3所示。

图 3 qc（t），CA（t），CA（t-1）的隶属度函数曲线Fig.3 Membership function curve of qc（t），CA（t），CA（t-1）

结合带有遗忘因子的最小二乘法，其中遗忘因子取λ=0.97，辨识得到T-S模糊模型的后件参数，最终可得到CSTR系统T-S模糊模型的六条规则，即：

3 基于T-S模糊模型的广义预测控制

3.1 广义预测控制算法

GPC算法采用CARIMA模型来描述系统[11]：

其中

式中：y（k），u（k）分别为系统的输出、输入；ξ（k）为互不相关的均值为0、方差为σ2的白噪声序列；Δ为差分算子。为了突出方法原理，在此假设C（z-1）=1，CARIMA模型的系数矩阵如下：

为得到j步之后的输出预测值，引入以下2个丟番图方程（Diophantine）[12]：

式中：Ej（z-1）和 Fj（z-1）为由 Aj（z-1）和预测长度 j唯一确定的多项式。可得在k+j时刻的预测值，即GPC的预测模型为

取k时刻的优化性能指标函数为

式中：E｛·｝为取数学期望；ys为对象输出的期望值；N1，N2分别为优化时域的起始、终止时刻；Nu为控制时域；λ（j）为控制加权系数。

用式（16）中的y¯（k+j∣k）代替式（17）中的 y（k+j∣k），从而将性能指标写为向量形式：

其中

当λI+GTG非奇异时，可得到性能指标的最优解：

最优控制量为

式中：dT为矩阵 （λI + GTG ）-1GT的第1行。

3.2 CSTR系统的广义预测控制

针对上述辨识所得到的CSTR六条规则的T-S模糊模型，通过局部线性化，转化为CARIMA模型的形式，可得到该模型的系数矩阵A（z-1）和B（z-1），进一步求解丟番图方程得到控制律，最后将控制量施加于CSTR系统。

T-S模糊模型预测控制器的参数设置为：预测时域Np=20，控制时域Nu=2，控制加权矩阵为单位阵I2×2，柔化系数α=0.8。同时与PID控制相对比，PID控制参数设置分别为Kp=0.59，Ti=0.06，Td=0.2。

加入和未加入干扰时，PID算法与GPC算法的控制输出曲线对比如图4所示。其中，图4a为未加入干扰时的曲线对比，由图可见GPC算法的控制性能要优于PID控制算法；图4b为加入白噪声干扰后的曲线对比。同样可见GPC算法的抗干扰能力要优于PID控制算法。

图4 GPC控制与PID控制跟踪效果的对比Fig.4 Comparison of tracking effect between GPC control and PID control

4 结语

针对化工生产过程中具有高度非线性特性的连续搅拌反应釜CSTR，采用对隶属度函数增加约束的IFP-FCM算法以及带有遗忘因子的递推最小二乘法对CSTR系统建立了精确度较高的T-S模糊模型。其中，仿真验证了IFP-FCM算法优于传统的FCM算法。将模糊模型进一步转化为CARIMA模型进行广义预测控制。通过仿真验证，证明了本文方法是有效的，且优于传统的PID控制方法。