spline插值法在铅酸电池放电曲线数学模型建立中的应用

吕扬

摘 要：本文建立一元多项式回归模型来表示20A～100A之间任一恒定电流强度铅酸电池放电曲线的数学模型。首先，利用spline插值方法进行插值得到样本点，然后拟合出多项式函数的系数，最后计算出平均相对误差MRE评估模型精度。利用该模型计算出电流强度为55A时的放电曲线，并计算出平均相对误差MRE= 0.0104943，模型精度较优。

关键词：一元多项式回归;spline插值法;铅酸电池放电曲线

随着科技的发展，人们生活的进步，铅酸电池作为电源被广泛用于工业、军事、日常生活中。为了提高铅酸电池的利用效率，减少资源的浪费和对环境的污染，方便人们的生活，我们可以对实际生活中铅酸电池的使用情况做出记录，得到准确合理的相关数据（本文数据来源于2016年全国大学生数学建模竞赛C题附件），并对数据进行分析，建立某电流强度下电池放电时间与电压之间的函数模型，即放电曲线模型，从而计算出电池剩余放电时间。

一、利用spline插值法建立一元多項式回归的放电曲线数学模型

（一）一元多项式回归模型的建立20A，30A，...100A九种电流强度下的放电曲线多项式函数规律十分一致，因此，我们类比推理建立20A-100A之间任一恒定电流强度放电曲线多项式函数模型如下：

，

其中表示归一化后的电压值，表示归一化后的放电时间值。

（二）利用spline插值方法进行插值，求出20A-100A范围内任意恒定电流I下总的放电时间，从而利用公式将时间数据归一化，把相应的电压值也做归一化处理：。

（三）在放电时间范围[0-]内，以两分钟为间隔，利用20A-100A的9个样本点，进行spline插值求出恒定电流I下的电压值，一共有270组样本点，再利用20A-90A的8个样本点，进行spline插值求出恒定电流I下的电压值，一共有41组样本点，以此类推，一直利用20A-大于I的的最小整十安培的样本点，进行spline插值求出恒定电流I下的电压值，将得到的所有样本点再加上归一化放电曲线必然经过的（0，1）点，利用这些样本点对电流I下放电曲线进行拟合，得到函数关系，从而计算出从某放电时间开始一直到所对应的未知电压值。于是，就把整个时间范围[0-]内每隔两分钟对应时间的电压值全部计算出来，得到任一恒定电流I下的放电曲线。

（四）用平均相对误差MRE（从Um开始按不超过0.005V的最大间隔提取231个电压样本点。这些电压值对应的模型已放电时间与采样已放电时间的平均相对误差即为MRE。）评估模型精度。

二、电流强度为55A时的放电曲线计算

利用上面四个步骤进行计算：

（一）设恒定电流强度55A下放电曲线多项式函数模型如下：

，

其中表示归一化后的电压值，表示归一化后的放电时间值。

（二）计算出电流强度55A下的总放电时间。20A-100A分别对应的9个总放电时间数据作为样本点进行spline插值求得分钟。

（三）在放电时间范围[0-1168]内，以两分钟为间隔，利用20A-100A的9个样本点，进行spline插值求出恒定电流55A下的电压值，一共有270组样本点，再利用20A-90A的8个样本点，进行spline插值求出恒定电流55A下的电压值，一共有41组样本点，利用20A-80A的7个样本点，进行spline插值求出恒定电流55A下的电压值，一共有55组样本点，利用20A-70A的6个样本点，进行spline插值求出恒定电流55A下的电压值，一共有66组样本点，最后利用20A-60A的5个样本点，进行spline插值求出恒定电流I下的电压值，一共有91组样本点，将得到的所有样本点再加上归一化放电曲线必然经过的（0，1）点，利用这些样本点对电流55A下放电曲线进行拟合，得到函数关系（拟合图见图1）：

图1 电流55A下放电曲线拟合图

图2 电流强度为55安培下放电曲线散点图

从而计算出从某放电时间开始一直到1168分钟所对应的未知电压值。于是，就把整个时间范围[0-1168]内每隔两分钟对应时间的电压值全部计算出来，得到恒定电流强度55A下的放电曲线。具体数据见表1，归一化后放电曲线散点图见图2。

（四）模型精度评估

根据MRE的定义，在电流强度为55A下的585个样本点中剔除利用拟合曲线计算的电压数据，从下往上选取231个间隔最大不超过0.005伏的电压数据点，计算出平均相对误差MRE= 0.0104943，数值非常小，模型精度优。

本文方法可以推广，建立任一恒定电流强度放电时的铅酸电池放电曲线的数学模型，为了实际应用方便，在保证模型精度通过检验的前提下，可以将回归多项式次数降低，比如建立二次多项式回归模型，从而减少系数计算，增强模型的实用价值。

参考文献

[1] 徐茂良.数学建模与数学实验[M].北京：国防工业出版社，2015.

[2] 汪晓银.数学软件与数学实验[M].北京：科学出版社，2015.