提升高中数学解题效率的几个方法

孙寿骏 指导教师：李昌成

(新疆乌鲁木齐市第八中学高三2班 830002)

数学的学习，不是简简单单地重复计算、学习公式，而是提高同学的数学素养.数学学习锻炼我们的思维方式、数理逻辑、空间想象.我们可以从最基础的分类讨论中学习到考虑问题时，需要有耐心、全面地剖析问题.很多同学学习数学，都觉得较为困难，很难学好，不容易获得高分，是因为很多同学思维能力、计算能力不够，解题速度较慢造成的.我将学习过程中总结的一些解题方法分享如下.

一、回归课本，找到支撑

数学教材是数学教学的最重要的材料，它是数学工作者集体智慧的结晶，不仅具备完整的知识体系，更具有权威性.

现在，很多同学忽视课本，甚至丢掉课本，闷头做题.比如在学圆锥曲线时，大家以为椭圆只有一个定义：平面内，到定点F1,F2的距离之和等于常数(该常数大于|F1F2|)的动点P的轨迹叫椭圆.其实在书中的例题提到了另外的两个定义，其一是动点到定点F的距离与它到直线l的距离之比等于一个常数e(定点F不在定直线l上，且该常数e满足0

在学习数学这条康庄大路上，我认为课本中课后的探究与发现、阅读与思考是值得我们去推敲琢磨的，虽然其中的内容老师可能草草带过或不讲，但其中的内容详实有趣.比如：在选修2 -3的课本中，推导的必修3中的线性回归方程，虽然最后有几步难以理解是如何转化的，但正因为自己还不会，才应更加努力地去学习，来丰富自我.

二、灵活变换思路，分步求解

一些立体几何问题因思考的角度不同，导致认识不一定准确，只有多变换思路，才能发现其本质.

例1 已知三棱锥P-ABC的四个顶点，均在球面O上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E,F分别为PA、PB的中点，∠CEF=90°,求球O的体积.

解∵∠CEF=90°,

∴CE⊥EF.

∵EF∥PB,∴CE⊥PB.

取AC中点O,∵O为AC中点，且BC=BA,PC=PA,

∴BO⊥AC,PO⊥AC.

又∵BO∩PO=O,

∴AC⊥平面POB,∴PB⊥AC.

∵PB⊥AC,CE⊥PB,CE∩AC=C,

∴PB⊥平面PAC.

根据我们所计算出的结果，我们可以重新画出图，如图2，方便解题.

不妨设球O的半径为R,则可得：

三、数形结合，突破难点

在数学解题过程中，我们经常会不知所措，这时我们不仅可以多读题目，提取有用信息，也可以画个图来帮助理解和解题.尤其是在解导数题、函数题、圆锥曲线、平面几何、立体几何中，画个较为准确的草图，会使解题思路更加清晰，解题事半功倍.

首先绘图,分析图形,我们很容易发现四个面是全等的三角形，如此规则的图形，我们可以猜测它是切割出来的，并且是以相同方式切割出的,在我们所学过的知识当中,正四面体是由正方体以同一种方式所切割出来的,那么我们可以猜测该图形是由长方体以某种方式切割出来的.

四、依托特殊值，提高解题速度

特殊值和固定的结论对于解题大有裨益，所以我们在学习时应当留心去记忆他们.如lg2=0.3，lg5=0.7，e=2.7，1rad=57.30°，比如一条抛物线y2=2px(p>0),存在A、B两点在抛物线上，且∠AOB=90°,则直线AB必过定点(2p,0).如果我们能将它们记住,在小题的解题中会又快又准.

解因为a=21.2>20.2=b>1，c=2log52=log54∈(0,1)，所以a>b>c.

五、巧设方程，破解难题

在解析几何中为了解题简捷，我认为首先,应当熟记直线方程的各种形式及其使用范围，并进行恰当选择：

1.点斜式：y-y0=k(x-x0)(k存在)；

2.斜截式：y=kx+b(k存在)；

5.一般式：Ax+By+C=0；

6.直径式：(x-x1)(x2-x1)+(y-y1)(y2-y1)=0(其中((x1,y1)、(x2、y2)是圆中直径的端点)；

7.斜截式变式：x=ty+a(直线斜率不为0)；

以直线方程与圆锥曲线结合时为例,如果我们恰当选择了方程，如其中斜截式和斜截式的变式解题便可以由繁入简.例如如果直线倾斜角不为0,但却存在α=90°时,我们可以使用x=ty+a，这会使我们运算简便,避免未分类讨论的失误.

例4 圆x2+y2=4切线交y2=8x于A、B两点，∠AOB=90°，求切点的横坐标.

因为∠AOB=90°，所以直线必过点(8,0).

六、特值验证，估算取胜

在我们学习到了幂函数、对数函数、三角函数后，我们经常会遇到一些令人难以琢磨的无理数，在做题过程中，有时我们无法判断他们的具体数值，此时我们可以估算求解.还有的题求解十分困难，譬如2019年高考全国二卷中的12题，这时我们便可使用大胆代值的技巧.

例5 设函数f(x)的定义域为R,满足f(x+1)=2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)=x·(x-1)，若对任意x∈(-,m)都有则m的取值范围为( ).

解由题可知f(x+1)=2f(x),即将(0,1]的图象向左移一个单位并将其值域缩小一半，将(0,1]的图象向右移一个单位并将值域扩大到两倍.示意图如图3.

总而言之，在学习数学的过程中，要不断地总结、归纳，将课本上的知识，老师传授的解题方法技巧，同学们的学习经验变为自己的东西，才能让自己在解题能力上不断进步，从而加快解题速度，在考试中取得更好的成绩.