已知函数值相等求自变量差或积的范围问题

苏艺伟

(福建省龙海第一中学新校区 363100)

在高三复习中,各级各类模拟试题经常出现一类以函数为载体,告知两个函数值相等,求自变量差或积的取值范围问题.此类问题较为灵活,没有固定的解法,一般可以采用代数方法或者图象方法进行求解,或者两者结合先画出图象观察再进行严谨的代数推理.在实际解题中,要根据题目条件的结构特征灵活选择恰当的方法.本文举例进行说明.

一、求自变量差的取值范围

解析1：代数法

简评代数法中,运用了消元的思想,将m表示成关于n的表达式,统一变量,然后构造函数g(x),运用求导加以求解.

解析2：图象法

简评借助图象分析问题,直观形象,化抽象为具体,其关键在于具有动态思维,并且懂得对相切时的情况进行分析.

例2若实数a,b,c满足(a-2b-1)2+(a-c-lnc)2=0,则|b-c|的最小值为____.

解析1：代数法

当0

当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增.

故g(x)的最小值为g(1)=1.因此|b-c|的最小值为1.

简评运用消元思想,将b表示成关于c的表达式,统一变量,然后构造函数g(x),运用求导加以求解.

解析2图像法

如图3所示,画出f(x)=2x+1与g(x)=x+lnx的图象,因此|b-c|的最小值等价于直线y=a与f(x)=2x+1和g(x)=x+lnx交点横坐标之间距离的最小值.设直线y=2x+t与曲线f(x)=x+lnx相切于点B(x0,y0),则易知B(1,1),A(0,1).此时|b-c|的最小值为1.

简评借助图象分析问题,对相切时的情况进行分析即可求解.

由m≤0,得2(ln(n+1)-1)≤0,故0

则n-m=n+2-2ln(n+1).

令g(n)=n+2-2ln(n+1),0

当0

当10,g(n)单调递增.

故g(n)的最小值为g(1)=3-2ln2.

又g(0)=2,g(e-1)=e-1,所以g(n)∈[3-2ln2,2).

因此n-m的取值范围是[3-2ln2,2).

故n-m=2ek-1/2-lnk-2.

令g(x)=2ex-1/2-lnx-2,x>0.

因此n-m的最小值为ln2.

简评例3和例4都采用代数法求解.例4中较难将m与n互相表示,故引入一个变量k,起到搭桥化简的作用,将m与n都用k表示出来,然后构造函数g(x)解决问题.

二、求自变量积的取值范围

例5设函数f(x)=|x2-2x-1|,若m>n>1,且f(m)=f(n),则mn的取值范围是____.

解析画出函数f(x)=|x2-2x-1|的图象,如图4所示.

由于f(m)=f(n),所以有m2-2m-1=-n2+2n+1.

化简得m2-2m+n2-2n=2,即(m-1)2+(n-1)2=4.

解法2 设m=1+2cosθ,n=1+2sinθ,θ∈[0,2π).

则mn=(1+2cosθ)(1+2sinθ)=1+2(sinθ+cosθ+2sinθcosθ).

例6已知关于x的方程e-x+2=|lnx|的两个实数解为x1,x2,x1

解析如图6所示,设A(x1,y1),B(x2,y2),则0

显然y1=-lnx1,y2=lnx2.

由2

解析如图7,设A(x1,y1),B(x2,y2),则0

由y1

简评例5,例6,例7三道试题都是已知函数值相等求自变量积取值范围.先画出相应函数的图象,结合图象分析问题,再采用恰当的方法进行求解.

三、求混合型的取值范围

例8设函数f(x)=|x2+2x-1|,若a

解析画出函数f(x)=|x2+2x-1|的图象,如图8所示.

由于f(a)=f(b),所以有a2+2a-1=-b2-2b+1.

化简得a2+2a+b2+2b=2,即(a+1)2+(b+1)2=4.

设a=-1+2cosθ,b=-1+2sinθ,θ∈[0,2π).

不难发现,对于此类已知两个函数值相等,求自变量差或者积取值范围试题,要充分挖掘题目隐含的结构特征,善于转化与回归.严格的代数推理有着较高的逻辑思维要求,因此往往可以先借助图象得到一个直观的认识再利用代数法进行严谨的推理论证,从而实现解题的高效.