基于模糊集合理论的数学游戏设计

李宗双，袁 华

1 模糊集合理论的概念及内涵

集合是描述人脑思维对整体性客观事物的识别和分类的数学方法，模糊集合论要求其分类要遵从模糊中聚排律的相关要求，在模糊集合对象的全体中，所有的集合元素必有一个特殊的属性，属A不含B，属B不交A，要求这其中必有一个集合归宿.所以，模糊集合理论的总体描绘特点是对一般概念的抽象概括，是对概念本身外延与归纳的高度整合，也可以说是要将其外化为具体的模糊概念，并借助MATLAB语言或编程来编辑概念及模型，最终在处理计算机语言中建立客体与概念的相关联系，构建一个模糊数学模型体系［1-2］.

模糊数学产生的直接动力，与系统科学的发展有着密切的关系.在多变量、非线性、时变的大系统中，复杂性与精确性形成了尖锐的矛盾.LA扎德教授从实践中总结出这样一条互克性原理：“当系统的复杂性日趋增长时，我们作出系统特性的精确而有意义的描述的能力将相应降低，直至达到这样一个阈值，一旦超过它，精确性和有意义性将变成两个几乎互相排斥的特性.”这就是说，复杂程度越高，有意义的精确化能力便越低.复杂性意味着因素众多，时变性大，其中某些因素及其变化是人们难以精确掌握的，而且人们又常常不可能对全部因素和过程都进行精确的考察，只能抓住其中主要部分，忽略掉所谓的次要部分.这样，在事实上就给系统的描述带来了模糊性.“常规数学方法的应用对于本质上是模糊系统的分析来说是不协调的，它将引起理论和实际之间的很大差距.”因此，必须寻找到一套研究和处理模糊性的数学方法.这就是模糊数学产生的历史必然性.模糊数学用精确的数学语言去描述模糊性现象，“它代表了一种与基于概率论方法处理不确定性和不精确性的传统不同的思想，……，不同于传统的新的方法论”.它能够更好地反映客观存在的模糊性现象.因此，它给描述模糊系统提供了有力的工具.

模糊集合理论，是指客体与概念之间，难以用具体的标准与规则来区分事物的存在状态.它具有内涵和外延两部分内容，在内涵中，模糊集合理论是强调客体间的对位联系，而非强调事物的模糊性，它所要呈现的是一种对事物本身的判别与归纳，具有相对独立性与不同步性；二是模糊数学的外延部分则产生于对概念本身及分类过程中所出现的界限与类别，模糊现象本身是客观存在的，并没有特定的归纳标准，但对于客体与概念的分化来讲，它是具有分析与判别功能的.

2 利用模糊集合理论设计数学游戏模型

本文选用的是模糊集合中的二级模糊评判模型，需要通过四种反向的评价模型进行预判设计，并对其中的每一个模型进行抽样处理，最终在综合评价数据的基础上进行游戏设计.

评价的基本原理是：首先确定评价对象的模型与数据集、建立聚合评判模型与评价因素，通过评价因素的权重集，分别确定评价的合理矩阵与综合决断集，同时利用运算中的有效变量，对决断集中的数据进行权重分配，建立一个具体的矩阵集，并将其逐一代入两边的行列式，分别确定各个因素的权重及它们的评判矩阵，最后利用SPSS及MATLAB软件定向处理数据，从而完成模糊数学模型的构建与评价.以下为具体的游戏模型设计.

游戏模型一：给出综合决策模型(h,d,a)，对权重分配A∈d(h)，对应的综合决断h=a∗d.A=(w1,w2,…,wn)，B=(q1,q2,…,qn)，h=(hij)ab，，简记为a=(∧∗,∨∗).其中h为评价因素的权重集，a为评判矩阵，d为综合决断集.

游戏模型二：评价因素T(h,d)，则Hi=

游戏模型三：评价因素T(a,d)，则Hi=游戏模型四：评价因素T(∧,-)，则Hi=

其中，运算H为T的有效变量，即a+d=min(1,d+a) ，权 重 分 配，因此，即运算h与普通加法一致.分析：加权平均模型T(-, +)，则a==1，fkj≤1，因而，其中运算-与+一致.

基于上述定义建立模糊综合评价数学模型.根据调查得出来的因素，采用综合评判模型.游戏模型的权重分配数据如表1所示.

第一步，模糊综合评价：按各因素等级进行模糊综合评价.根据表1可以得到因素集和决断集：T={A1,A2,A3,A4}={- +}.

第二步，确定评价因素的权重集为A=(0.12,0.21,0.3,0.48).

第三步，按四种模型运算得模糊评价集B1和B2，其中，B1=A∗R1，B2=A∗R2.

表1 四种模糊游戏模型的权重分配数据

假设对上述四种模糊游戏模型构建成立，下面证明游戏模型的可行情况.

既然A的顺序主子式全大于零，那么A1的顺序主子式也全大于零.利用归纳法假定，A1是正定的，则存在可逆的n-1级矩阵G使G′A1G=En-1，这里En-1代表n-1级单位矩阵.

则A与E合同，因此，上述四种游戏模型是正定可行的.

第四步，利用MATLAB检测数学游戏模型.

MATLAB程序如下：

＞＞clc

＞＞clear；

＞＞u=-100：1：100；

＞＞［x，y］=meshgrid（u）；

＞＞z=（2*x-y+11）/3；

＞＞u=0：pi/20：pi；

＞＞v=0：pi/20：2*pi；

＞＞［U，V］=meshgrid（u，v）；

＞＞x1=60*sin（U）.*cos（V）+3；

＞＞y1=60*sin（U）.*sin（V）-5；z1=60*cos（U）-2；

＞＞x2=40*sin（U）.*cos（V）-30；

＞＞y2=100*sin（U）.*sin（V）+20；

＞＞z2=10*cos（U）+100；

＞＞mesh（x，y，z）；

＞＞hold on

＞＞surf（x1，y1，z1）；

＞＞surf（x2，y2，z2）；

＞＞view（-40，16）

利用MATLAB判定空间图形间的位置关系，设计数学建模，运行游戏模型，在实际生活中有着广泛的应用.

3 模糊数学游戏模型在数学教学中的意义

模糊数学诞生至今已有50多年的历史，它发展迅速、应用广泛.涉及计算数学、基础数学、应用科学、社会科学等多个方面［3］.其中，数学游戏在数学教学中具有重要的意义，所谓的数学游戏其实就是在游戏中添加一些数学知识，既可以让学生在游戏的身临其境中认知数学知识，又可以让学生在数学游戏的举一反三中形成初步的数学思维与解决实际数学问题的能力.这种数学模型的应用，不仅涉及数学知识的整合与学习，还具有一定的娱乐性和感染力［4］.

模糊数学游戏模型的建立具有重要的教学意义，对于授课主体的教师而言，模糊数学游戏模型的正向应用可以促进课程教学内容的多项改革，更利于教学设计、课程导入、说课的理念转变，提高学生课程的参与度与积极性，进而促进课堂教学水平与授课内容的双向提升［5］.同时，学生思维培养教育的方向会根据儿童不同的年龄阶段有不同的侧重，教师可以依据学生的听课状况来确定更加具体的教学内容，科学合理地运用模糊数学游戏模型，进一步激发学生学习数学知识的兴趣，最终促进学生思维能力与综合素质的提升.