错解总结 能力提升
2019-12-17赵佳佳
赵佳佳
一、概念模糊不清
例1 江苏省某校食堂销售三种午餐盒饭的有关数据如图所示，求该食堂销售午餐盒饭的平均价格为。
【错解】6.3元。
【错解原因】用[8+5+63]作为答案，对加权平均数的概念不清楚。这里并不是简单地求三个数据的平均值，应考虑每个数据的重要程度，即所占权重。
【正解】8×15%+5×25%+6×60%=6.05。
二、审题不仔细
例2 求下列一组数据的中位数：2，5，3，4，7。
【错解】3。
【错解原因】审题不清楚，错误地认为一组数据最中间的数据就是该组数据的中位数。
【正解】求一组数据的中位数，应先将数据按大小顺序排列，如果有奇数个数据，取最中间一个，有偶数个数据，取中间两个数据的平均数。因此排序后是2，3，4，5，7，中间数据（中位数）是4。
例3 某校对部分参加夏令营的中学生的年龄（单位：岁）进行统计，结果如下表：
[年齡 13 14 15 16 17 人数 1 2 2 4 1 ]
则这些学生年龄的中位数和众数分别是。
【错解】15、4。
【错解原因】没能认清年龄和对应的人数，错误地只取五个年龄的中间值。众数是年龄而不是人数。
【正解】先将数据按顺序排列可得13，14，14，15，15，16，16，16，16，17。共十个数据，中间两个是15和16，中位数则取它们俩的平均数15.5;众数是一组数据中出现次数最多的数据，而不是出现最多的数据的次数，年龄为16的人数最多，因而年龄的众数是16。另外，根据众数的意义，一组数据有时不止有一个众数，也可以没有众数。如数据“5，6，7，6，8，8”的众数是6和8;数据“12，18，46，56，100”没有众数。
三、计算错误，方法不优化
例4 某舞蹈队12名队员身高如下（单位：cm）：165，167，169，166，168，164，163，164，165，167，166，162。求她们的平均身高。
【错解】计算错误的各种答案。
【错解原因】计算方法繁琐，基础计算不过关。
【正解】优化方法，简化计算过程，通过观察我们发现，这组数据中的每个数据都较大，并且都接近一个数165，可以用以下方法：将每组数据同时减去165，得到一组新数据0，2，4，1，3，-1，-2，-1，0，2，1，-3。再计算新数据的平均数是[0+2+4+1+3-1-2-1+0+2+1-312]=0.5。所以原数据的平均数是165.5（cm）。
四、跟着感觉走
例5 一组数：1，2，2，3，若再添加一个数据2，则发生变化的统计量是（）。
A.平均数B.中位数
C.众数D.方差
【错解】A。
【错解原因】没有通过计算来说明问题，凭直觉，增加一个数平均数就变了。
【正解】通过计算可知原先四个数据的平均数是2，现增加一个数据2，那么现5个数据的平均数依然是2。原先的方差是：[1-22+2-22+2-22+3-224]=[12]，
现在的方差是：
[1-22+2-22+2-22+3-22+2-225]
=[25]。故选D。
例6 测试五名学生的“一分钟跳绳”成绩，得到五个各不相同的数据。在统计时，出现一处错误：将最高成绩写得更高了。计算结果不受影响的是（）。
A.平均数 B.中位数
C.众数 D.方差
【错解】C或D。
【错解原因】不能很好地理解四个名词的概念。
【正解】个数不变，总和增加，平均数变化;前后都是五个不同的数据，都没有众数;只改变一个数据，平均数变化，方差也发生了变化;五个数据大小排列，最中间第三个数据不变，所以中位数不变。故选B。
五、答题不严谨
例7 （2017·温州）数据1，3，5，12，a，其中整数a是这组数据的中位数，则该组数据的平均数是。
【错解】5。
【错解原因】答题不严谨，排序后片面地认为a只能等于4。
【正解】由题意先将数据大小排列成1，3，a，5，12。由此可知a可以是3，4或者5。由此可求得平均数，一个都不能少。
故答案为：4.8或5或5.2。
六、理解偏差，公式不熟
例8 （2018·南京）某排球队6名场上队员的身高（单位：cm）是：180，184，188，190，192，194。现用一名身高为186cm的队员换下场上192cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（）。
A.平均数变小，方差变小
B.平均数变小，方差变大
C.平均数变大，方差变小
D.平均数变大，方差变大
【错解】B。
【错解原因】不能很好地理解方差的含义。
【正解】关于平均数：个数不变，其中一个数变小，总和变小，平均数也变小。也可通过计算得平均数由188变成187。
方差和平均数息息相关，它集中描述了一组数据中的每个数据偏离平均数的大小，方差越大，越偏离平均数。替换前平均数是188，替换后平均数是187，由此看出替换后的队员身高更靠近平均数，所以方差变小。当然也可以通过计算得方差前后分别是[683]和[593]。故选A。
例9 （2018·张家界）若一组数据a1，a2，a3的平均数是4，方差是3，则数据a1+2，a2+2，a3+2的平均数和方差分别是（）。
A.4，3 B.6，3 C.3，4 D.6，5
【错解】D。
【错解原因】想当然地认为每个数据加上相同的数，平均数和方差都应该增加，不能深刻理解平均数和方差的计算过程。
【正解】根据平均数的定义a1+a2+a3=12，那么a1+2，a2+2，a3+2的平均数是：
[a1+2+a2+2+a3+23]
=[a1+a2+a3+63]
=[183]=6，
数据a1+2，a2+2，a3+2的方差是：
[a1+2-62+a2+2-62+a3+2-623]
=[a1-42+a2-42+a3-423]。
这样的计算结果和原数据a1，a2，a3的方差计算公式一致，所以数据a1+2，a2+2，a3+2的方差也是4。这里同学们也可以记住，这种情况下平均数相应增加，而方差不变。
故选：B
同学们，这些错误你都了解了吗？或许你还有不一样的错误，及时整理出来吧。错误并不可怕，只要我们认真总结反思，它将成为我们成功的见证。让我们正确认识错误，消灭错误，一起进步，加油吧。
（作者单位：苏州工业园区青剑湖学校）
