三角形高的教学之我见

摘 要：《三角形的高》历来是教师教学的难点，也是学生学习的难点。为了更好地进行这一知识点的教学，笔者根据自己多年的教学实践，从难点的原因分析、高定义的教学策略及作高的教学策略三个方面提出自己粗浅的看法，以期为广大教师提供参考。

关键词：小学数学;三角形的高;原因分析;教学策略

中图分类号：G427                       文献标识码：A                文章编号：2095-624X（2019）30-0074-02

引    言

在小学数学中，《三角形的高》知识点历来是教学的难点，教师抱怨难教，叫苦不迭;学生感觉难学，抱怨连连。针对这一情况，本文首先分析了其成为难点的原因，接着提出了相应的教学策略，希望对小学数学教师有所启迪。

一、《三角形的高》成为教学难点的原因分析

《三角形的高》是人教版四年级下册《三角形的认识》一课中的重要内容。教材给出了定义：从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫作三角形的高。教材给出的定义比较长，有30个文字，同时教材也给出了高的图像，以及一个问题：可以画几条高？

《三角形的高》所占篇幅很少，但它确实是广大教师公认的教学难点，这是为什么呢？原因主要有三个。

1.关联概念多，增加了内涵理解的难度

三角形高的定义，实际上是经由点到直线的距离演绎而来的，再追溯上去，三角形的高本质上是两点之间的距离。我们可以这样理解：三角形的高就是一条线段，一个端点在三角形的一个顶点上，另一个端点就是垂足。

因此，我们在教学三角形高时，就需要去梳理概念之间的脉络，进而让学生体会数学概念的系统性。这就给三角形高概念的内涵理解带来了难度。有时可能连我们自己都没有想明白，笔者认为这是难点之一。

2.类似概念负迁移，增加了学习的曲折度

其实，学生对于“高”并不陌生，对生活中的高也有一定认识，还认识了平行四边形的高，会画平行四边形的高，但这些经验对学生认识三角形的高有帮助吗？帮助肯定是有的，但同时也有负面影响。部分学生会认为平行四边形的高与三角形的高是一样的，但平行四边形的高实质是平行线之间的距离，所以它有无数条，而三角形的高是最高点到对边的距离，所以一条底边上的高只有一条。所以说，类似概念的负迁移，让学习高的这条道路变得曲折而又复杂，笔者认为这也是难点之一。

3.非本质属性认识的干扰，增加了学习的难度

在学生的认知中，他们会认为只要在竖直方向上才有高，也就是把高狭隘地理解为铅垂的特殊情况。如果事先就有这样的思维定式，那么不在水平线上的另外两条底上的高，就成了学生学习的难点。所以，才会有书中小精灵的提问。其实，底边是否在水平线上，对三角形高的认识而言，是非本质属性，但这些非本质的属性，却给高的认识带来了困难。

二、教学“高”定义的策略

1.以实例归纳定义

在实际教学中，首先，教师让学生观察三个形状大小一样，但摆放位置不同的三角形，之后让学生尝试画三角形的高。其次，教师提问学生：三角形中画的虚线都是三角形的高，请你说说，什么是三角形的高？预设学生能悟到：三角形的高都是从顶点出发的一条线段，不管三角形怎么摆，三角形都是有高的。再次，教师出示反例，提问学生：“观察下面图形，这三个三角形中的虚线都不是三角形的高。现在再请你说说，什么是三角形的高？”甚至可以让学生在草稿纸上写下他对三角形高的定义。最后，教师让学生对照正例与反例去修正与完善对于高的认识。

为什么要这样做呢？很明显，学生对于三角形高的定义，不是教师与课本强加的，而是经由观察分析得到的，从而实现正例用于挖掘对象的本质，反例用于修正概括的定义的作用。

2.给“高”进行简单定义

当学生认识完“高”后，我们可以设计这样一个提问：三角形高的定义，你们理解了吗？其实三角形高的定义是比较复杂的，而且是一段比较长的话。老师有一个办法可以判断你们理解了没有，那就是看你能不能把复杂的事情说简单。谁来试试？

学生的回答可能会聚焦到高是一条线段上，这时教师就可以追问：两个端点在哪里？这不仅能抓住高概念的本质，同时还能为“画高”分解难度。

另外，还有一点，笔者认为非常重要。那就是在教学三角形高的概念时，我们肯定会去关注概念的内涵与外延。理解内涵时，我们可能会通过解读关键词来理解。但这样的做法是有缺点的，解读关键词往往只能得到支离破碎的理解，这些理解的碎片不可能“破镜重圆”，拼出概念的完整理解。

三、画高的教学策略

笔者认为，在寻找作高错因中归纳画高策略，是条捷径。基于经验，基于学生错例，笔者认为错因主要有四个。第一，思维定式的困扰。学生画垂线时习惯于画水平方向的，即其心目中的“标准垂线”。当遇到画斜线方向的垂线，他们就会受“标准”影响，发生错误，认定高一定在三角形内部。在画锐角三角形的高时，学生思维上会产生一种定式。受这种固有思维的干扰，画钝角三角形外高时，他们就会出现错误。第二，操作技能的欠缺。部分学生认为底与高是一种假垂直的状态。可见，学生对线概念理解不到位，画垂线技能未过关。第三，负迁移的影响。平行四边形高的定义是从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段就是平行四边形的高。定义中的一点可以是在边上的任意一点。而三角形的高必须从顶点出发，这个点是指定的。从“任意点”到“指定点”，学生容易出现错误。第四，找直角边上的高的能力缺失。部分学生认定高一定在三角形内部，认定三角形的高与三角形的边是两回事，不可以是同一条线段。

面对学生作高中的错误，我们可以有以下几点对策：第一，加强垂直变式练习。在提供给学生标准的水平与竖直方向画垂线的同时，我们还要让学生理解过直线外一点画垂线的概念，以及不用延长画垂线和需要延长画垂线的概念等。第二，比较中求“同”辩“异”。我们可以同时出示平行四边形的高与三角形的高，让学生对比有什么不同，让学生感受到其实都是指“点与点之间的距离”，但是平行四边形其中一个端点可以是任意的，而三角形必须是指定的顶点。第三，操作想象中沟通联系。这是突破外高与直角边上高，可以借鉴的方法。教师可以利用多媒体让顶点c动起来，让学生想象现在是什么三角形了，高又在哪里了，这样做不仅可以打破“高就在三角形内部”这一思维定式，还可以帮助学生理解直角三角形两边直角边为什么互为底和高，也加深了对钝角三角形外高的理解。第四，“作高”小技巧。在实际教学中，我们可以借鉴“尺板作高法”，用直尺当移动的轨道，这比“一板作高法”更能使学生理解如何作高。

以上这些都是应对作高的小技巧，我们在分析错因、纠正畫法时，其实都是在不断地加深学生对“三角形高定义”的理解。

结    语

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔关于高的观点为：概念教学不在于只要求学生理解概念的表层含义，还应该着眼于定义概念的过程，学习像数学家那样思考，了解定义形成的方法和依据，理解蕴含在定义背后的规定与意义，从而获得可靠的数学知识[1]。因此，在实际教学中，我们应让学生在理解的基础上学习高的概念，从而为其以后的学习奠定良好的基础。

[参考文献]

李求邦.利用“再创造”原理 优化数学概念教学[J].中学数学研究，2006（03）：1-4.

作者简介：罗海江（1971.12—），女，江西峡江人，中小学一级教师，2011年被评为峡江县优秀教师，2015年被评为峡江县课改十佳。