等长基线干涉仪相位差校正方法研究

徐利杰，陈 卓，朱晓丹，薄 超，张宏伟

(1.中国航天科工集团8511研究所，江苏 南京 210007； 2.中国航天科工集团第二研究院研究生院，北京 100854)

0 引言

相位干涉仪由于其测量精度高，被广泛应用于无源探测和侦察中。对于地面固定站对空中运动目标的测向定位来说，相位干涉仪不仅可以实现测向，而且可以对目标辐射源进行测距定位，是实现地对空测向定位的重要方法。

国内外众多学者对基于等长基线干涉仪的地面固定站对空中运动目标的定位跟踪原理及方法进行了研究分析。文献[1]对干涉仪无源测距问题进行了研究，提出了比相测距方法。文献[2～3]在文献[1]的基础上对线性天线阵比相测距方法的距离分辨力、定位精度、解相位模糊等一系列关键问题进行了分析。文献[4～6]在文献[2～3]基础上进行了详细的研究。其中，文献[4]采用了虚拟基线法来解模糊，并对解模糊正确概率和测距相对误差进行了仿真分析；文献[5]指出相位差精度对基线精度具有非常严格的要求，并对不同基线长度对不同频段信号的定位精度进行了仿真分析；文献[6]改变了基线布置方式，采用了平行不共线的布阵方式，并对基线安装距离误差进行了分析。文献[7]对比相测距方法进行了系统设计，提出长短基线多接收机定位系统，并对其中的关键技术进行了分析，仿真分析表明定位精度可以满足无源系统对目标定位精度的需求。文献[8]提出了一种基于虚拟基线的临近多站无源定位方法，该方法以已知辐射源方位为前提，对某一限定区域内任意散布的接收天线阵元以虚拟基线为基准进行正交投影，通过引入目标到虚拟阵元和真实阵元的距离差观测量推导了定位算法，但对距离差的测量精度的要求特别高。

上述文献主要对基于等长基线干涉仪的相位差测距定位原理进行研究分析，对于天线位置偏移对相位差造成的影响，文献[5～6]对此进行了分析，文献[5]提出以提高阵元安装精度的方法来减少由阵元位置引起的相位差偏差，但并没有给出校正方法。文献[8]中加入的距离差观测量实际就包含了相位差的偏差,但是实现距离差的高精度测量比较困难。本文在分析定位基本原理的基础上，指出相位差测量精度会对定位精度产生较大的影响，而阵元位置偏差是影响相位差精度的重要因素之一。本文重点对由阵元位置偏差引起的相位差偏差的校正方法进行了研究,得出了阵元的相位差偏差不仅与阵元偏移位置有关、还与目标和该阵元连线与基线的夹角(为方便起见，后称阵元方位角)有关的结论。

1 定位基本原理

如图1所示，目标T与基线AOB的夹角为β，相邻阵元之间的距离为d，目标与三个阵元的距离分别为RA、R、RB，记RA=R+rA，RB=R-rB，阵元A和B与阵元O之间的相位差为φA和φB。

图1 等长基线干涉仪测距定位原理图

1.1 理论推导

对于阵元A由余弦定理可得：

2dRcos(π-β)=d2+R2-(R+rA)2

(1)

则：

φA=2πR/λ(1+d2/R2+2dcosβ/R)1/2-1)

(2)

对式(2)进行泰勒展开，近似可得：

φA≈2π/λ(dcosβ+d2sin2β/(2R))

(3)

同理，对于阵元B有：

φB≈2π/λ(dcosβ-d2sin2β/(2R))

(4)

当d较长时，πd2sin2β/(λR)不可忽略，此时目标信号非平行入射，φA≠φB，相位差包含了目标距离信息，但是也含有模糊部分2πdcosβ/λ。由于是等长基线干涉仪，式(3)和式(4)相减，可以消去模糊项，得差分相位差：

φAB=φA-φB=2πd2sin2β/(λR)

(5)

从而得到测距定位公式如下：

R=2πd2sin2β/(λφAB)

(6)

由式(5)可知，当基线长度、波长，方位角以及距离满足d2sin2β/(λR)>1时，差分相位差会出现模糊，需进行解模糊计算。由式(6)可知，要想求得目标距干涉仪中心的距离需要获得目标辐射源到等长基线干涉仪的差分相位差和方位角。

1.2 定位误差分析

根据测距定位公式(6)，可知测距定位误差主要来源于差分相位差的误差δφ，方位角误差δβ以及阵间距误差δd，误差传播公式为：

δR=-λR2/(2πd2sin2β)δφ+2Rcosβ/sinβδβ+2R/dδd

(7)

相对误差为：

δR/R=-λR/(2πd2sin2β)δφ+2cosβ/sinβ)δβ+2/dδd

(8)

基线长度误差δd是由阵元安装过程中存在的误差造成，当布阵确定时，δd也随之确定。目前使用高精度测量仪器进行辅助安装时，可以将基线长度的误差控制在比较小的量级。比起几十上百米的基线长度，由δd直接引起的的测距定位误差可以忽略不计。由式(7)和式(8)可知，差分相位差的误差δφ和方位角误差δβ是随机分布误差，是影响测距定位精度的主要因素。

2 相位差校正基本原理

实际情况下，阵元不会准确地安装在理想位置上，会有一定的偏差。虽然从上述分析中可知，在高精度测量仪器辅助安装时由基线长度误差δd直接引起的的测距定位误差可以忽略不计，但是阵元位置偏移使等长基线变成非等长基线，由式(3)和式(4)可知，当这些基线长度偏差与信号波长相比拟甚至比波长更长时，相位差φ会产生较大的偏差，这主要反映在模糊部分2π/λdcosβ中，从而导致在求差分相位差时这部分模糊相位差不能抵消，使差分相位差的误差变大，最终导致定位结果恶化。因此本文提出一种基于外部校正源的等长基线干涉仪相位差校正方法，对由阵元位置偏差引起的相位差偏差进行校正，减少阵元位置偏移对定位结果的影响。

2.1 理论推导

如图2所示，二维情况下三阵元等长基线干涉仪AOB在实际中存在一定的阵元位置误差。图2中阵元A、阵元B和阵元O是理想的阵元位置。不失一般性，假设AOB位于x轴，阵元O与坐标原点重合且阵元O理想位置和实际位置重合。阵元A和阵元B的实际位置分别是A′和B′。Ti是校正源，位置已知，与理想阵元位置的距离分别为RAi、Ri、RBi，与实际阵元位置的距离分别为RA′i、RB′i，与理想阵元连线和x轴正方向夹角分别为αAi、αi、αBi，其中i=1,2…。αAi和αBi为阵元方位角，αi为方位角。假设阵元偏离理想位置的偏移距离为LA和LB，偏移位置和x轴正方向夹角为γA和γB(后简称偏移角)。可以认为当布阵固定时，偏移距离和偏移角就是固定值。

图2 相位差校正原理示意图

首先对阵元A进行分析，假设等长基线干涉仪实际测得的相位差为φA′i，理想阵元位置计算得相位差φAi，其中i=1,2，…，可得到：

φAi=2π/λ(RAi-Ri)

φA′i=2π/λ(RA′i-Ri)

(9)

设由阵元位置偏移引起的相位差偏差为ΔφAi，则可得到：

ΔφAi=φAi-φA′i=2π/λ(RAi-RA′i)

(10)

由式(10)可知，相位差偏差是由距离差引起的。设αAi,αi∈[0°,180°]，γA∈(-180°,180°]，由余弦定理可知：

(11)

整理得距离差：

(12)

等长基线干涉仪阵元偏移距离是厘米甚至是毫米量级的，对于校正源的距离来说可忽略不计，距离差对于距离来说是一个非常小的值，因此距离差可近似为：

RAi-RA′i=LAcos(αAi-γA)

(13)

由此可以得到阵元A的相位差偏差值：

ΔφAi=2π/λLAcos(αAi-γA)

(14)

同理可得，阵元B的相位差偏差值为：

ΔφBi=-2π/λLBcos(αBi-γB)

(15)

由式(14)和式(15)可知，阵元偏移位置和阵元方位角是影响相位差偏差的重要因素。要解LA、γA和LB、γB至少需要2组方程，也就是说至少需要2个校正源。不失一般性，任取2个校正源设为T1和T2，联合2个校正源得到关于阵元A的方程如下：

(16)

ΔφA=AXA

(17)

γk的象限由分子yk和分母xk共同决定，k代表阵元A或阵元B。通过目标的阵元方位角αk、偏移距离Lk和偏移角γk可以获得任意目标的基于等长基线干涉仪的阵元相位差偏差：

Δφk=±2π/λLkcos(αk-γk)

(20)

如式(20)所示，其中正号代表中心阵元左边的阵元，负号代表中心阵元右边的阵元。当布阵确定时，相位差偏差仅与阵元方位角有关，将式(18)和式(19)代入式(20)化简可得：

Δφk=Δφk1sin(αk2-αk)/sin(αk2-αk1)+

Δφk2sin(αk-αk1)/sin(αk2-αk1)

(21)

从式(21)可知，校正值也可以通过校正源的相位差偏差和阵元方位角以及目标的阵元方位角求得。

2.2 校正误差分析

根据式(21)，校正值的误差主要来源包括目标阵元方位角误差δαk和校正源的相位差偏差误差δΔφki，在精确测量的情况下校正源的方位角误差δαki可以忽略不计，则误差传播公式为：

(22)

观察式(22)发现分母中含有sin(αk2-αk1)，当|sin(αk2-αk1)|的值越接近1，校正值的误差就越小，即当两个校正源阵元方位角αki的差值越接近±90°，校正值的误差就越小。另外，由式(22)可知，相位差校正值精度主要与目标阵元方位角误差δαk和校正源的相位差偏差误差δΔφki有关。对于某一固定目标阵元方位角αk，校正值误差与δαk和δΔφki呈线性关系。

从上面的分析可知，可以按如图3的方式设置校正源的位置，可使校正值的误差最小。即以(0,b)为圆心，过A(-d,0)、B(d,0)2点构建半径为R的圆。校正源T1和T2位于圆的一条直径上，坐标分别为T1(-R,b)、B(R,b)。根据圆的几何特性可知，阵元A和B的两个校正源的阵元方位角的差值为90°。

图3 典型3阵元干涉仪阵元及校正源位置关系图

以阵元A为例，将图3中关系代入式(21)可得：

ΔφA=ΔφA1sin(αA-αA2)+ΔφA2cos(αA-αA2)

(23)

误差传播公式简化为：

δΔφA=ΔφA1cos(αA-αA2)δαA-ΔφA2sin(αA-αA2)δαA+

sin(αA-αA2)δΔφA1+cos(αA-αA2)δΔφA2

(24)

另外，经仿真分析可得基线长度d和圆半径R的关系如表1所示。按照表格关系设置半径可使校正源的相位差偏差和阵元方位角处于一个相对稳定的值，可以让校正源在尽可能近的距离内减少校正算法的误差，便于校正源的位置的选择。

表1 半径设置参考表

3 仿真分析

当信号频率较低，天线安装精度较高时，天线偏移引起的相位差误差较小，对定位结果的影响也比较小；当信号频率较高时，信号波长短，天线偏移引起的相位差误差较大，对定位结果的影响也较大。因此本文主要针对高频信号进行仿真分析，选择仿真信号频率为10 GHz。设一个由3个阵元构成的等长基线干涉仪，基线长度为25 m，三个阵元理想位置在二维直角坐标系的坐标分别为A(-25,0)、O(0,0)、B(25,0)。实际中阵元的位置会存在一定的偏差，假设偏移距离LA和LB分别为0.01 m和0.05 m，偏移角γA和γB分别为-120°和45°。

3.1 校正误差仿真分析

根据前面的理论推导和分析，构建典型校正场景如图3所示，2个校正源位于T1(-100,96.8)和T2(100,96.8)。对阵元A进行校正值误差仿真。假设目标的阵元方位角为90°，校正源的相位差偏差误差范围为[0°，20°](r.m.s)，目标阵元方位角误差范围[0°，2°](r.m.s)。

对校正值误差与目标的阵元方位角误差的关系进行1000次蒙特卡洛仿真，仿真结果如图4所示。

图4 校正值误差与目标的阵元方位角误差的关系

从图4中看出，仿真结果与理论分析结果一致，校正值误差和目标阵元方位角误差近似为线性关系。随着目标阵元方位角误差变大，校正值的误差也变大。另外，经过仿真发现，校正值误差和目标阵元方位角误差的曲线的斜率与偏移距离有关，偏移距离越大，斜率越大。这是由于偏移距离越大，相位差偏差就越大，结合式(14)和式(24)可从理论分析上证明该结论。因此，在不清楚阵元偏移距离的情况下，尽可能地减少阵元方位角的误差有利于减少校正值的误差。

对校正值误差与校正源的相位差偏差误差的关系进行1000次蒙特卡洛仿真，仿真结果如图5所示。

图5 校正值误差与校正源的相位差偏差误差的关系

从图5中看出，校正值误差和校正源的相位差偏差误差近似为线性关系，这与理论分析结果相符。随着校正源相位差偏差误差变大，校正值的误差也变大。另外，经仿真发现，校正源1和校正源2的误差曲线斜率与校正源位置有关，当校正源距离中心阵元较近时，校正值的误差会变大；当校正源距离中心阵元较远时，校正值误差会变小；另外，当校正源距离中心阵元达到一定距离后，校正值误差会趋向于稳定。这是因为距离的变化会引起阵元方位角的变化，当达到一定距离时，阵元方位角随距离的变化会更加缓慢，反映到误差上就是误差趋于稳定，这与表1的仿真得到的结论一致。另外可知，2个校正源的距离中心阵元的距离可以不是严格等长，但是相差也不能太大。

从上述相位差校正值误差和定位误差仿真结果中可得如下结论：相位差校正值误差与校正源的相位差偏差误差、目标的阵元方位角误差有关，相位差校正值误差随着这些值得变大而变大；并且相位差校正值误差会受阵元偏移距离和校正源与中心阵元距离的影响，偏移距离和校正源与中心阵元距离越大校正值误差越大。

3.2 定位误差仿真分析

对图3的布阵情况进行仿真分析，假设目标范围x∈[-300,300]km,y∈[0,300]km,目标辐射源信号频率10 GHz，各级等长基线测量的相位差误差和校正源的相位差偏差误差为10°(r.m.s)，目标的方位角和阵元方位角误差为1°(r.m.s)，对未经相位差校正的定位精度进行仿真，仿真结果如图6所示。

图6 校正前定位相对误差

从图6可以看出，若直接用带有阵元位置偏移的干涉仪来定位，会导致定位结果与实际情况相差很大，不能定位。

对经过相位差校正后的定位精度进行仿真，仿真结果如图7所示。

图7 校正后定位相对误差

从图6和图7的对比中可以看出经相位差校正后的定位精度显著提高，说明本文的相位差校正方法是正确的，可以改善等长基线干涉仪的定位结果；由图7可知，在干涉仪法线方向附近定位效果最好，偏离干涉仪法线角度越大定位的相对误差越大。

另外，在实际情形下，侦察系统是宽带的，对于相位差校正来说不可能是对每一个频点都做校正，因此在一定频率范围内使用固定的校正表更具实用性。本文对相位差校正的频率步进进行了仿真分析，经仿真分析发现，在信号频率在X波段时，以100 MHz为频率步进建立校正表能保证校正后的定位精度；当频率较低时，校正表的频率步进可以适当放宽。

4 结束语

本文研究了等长基线干涉仪由阵元位置偏移引起相位差偏差问题，提出了一种校正方法，通过至少2个外部校正源建立方程，求解出阵元的偏移距离和偏移角，结合目标的阵元方位角获得各阵元的相位差校正值。仿真分析表明，在一定的偏移距离和一定的测量误差内，等长基线干涉仪经过相位差校正后，校正后的定位误差相对校正前的定位误差有极大的改善，证明了校正方法的有效性，具有一定的工程借鉴价值。