考研概率统计重点内容及常见题型

戴立辉 任丽

摘  要：考研概率统计主要考查学生对概率统计基本概念、基本理论和基本方法的理解和应用。根据笔者多年的教学实践和经验，依照考研数学考试大纲，对考研概率统计的重点内容及常见题型进行归纳和总结，将概率统计课程要求学生掌握的知识体系体现出来，可作为学生考研复习概率统计和教师进行概率统计教学时参考。

关键词：考研  概率统计  重点内容  常见题型

中图分类号：O21   文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2019）10（b）-0130-02

概率统计是考研数学的组成部分之一，主要考查学生对概率统计基本概念、基本理论和基本方法的理解和应用。由于其内容涉及较多的高等数学或微积分基本知识，因此许多学生在把握上有一定的难度，对该课程的考题常常无从入手。

考研概率统计包括随机事件及其概率、一维随机变量及其概率分布、多维随机变量及其概率分布、随机变量的数字特征、大数定律和中心极限定理、数理统计的基本概念、参数估计和假设检验等内容[1-2]。要求学生首先要充分理解概率统计的基本概念，在此基础上，熟练掌握处理随机现象的基本计算方法。

该文依据考研数学考试大纲[3]，对考研概率统计的重点内容及常见题型进行归纳和总结，从而将概率统计课程要求学生掌握的知识体系体现出来，有益于学生较好的复习概率统计，并可作为教师进行概率统计教学时参考。

1  随机事件及其概率

该章主要内容是随机事件及其概率，包括事件概率的概念、基本性质、计算公式和事件的独立性等，它们是概率论中最基本、最重要的基础知识。

重点内容是：（1）随机事件与运算;（2）随机事件的概率（统计型概率、古典型概率、几何型概率、概率的严格定义）;（3）概率的基本性质（加法公式、减法公式、逆事件概率公式等）;（4）条件概率及有关公式（乘法公式、全概率公式、Bayes公式）;（5）随机事件的相互独立。常见题型有：（1）利用事件之间的关系与运算计算事件的概率;（2）利用事件概率的基本性质证明概率等式或计算一些事件的概率;（3）计算事件的古典型概率与几何型概率;（4）利用加法公式、减法公式、条件概率公式、乘法公式、全概率公式和Bayes公式计算事件的概率;（5）随机事件相互独立的证明或利用相互独立计算事件的概率。

2  一维随机变量及其概率分布

随机变量是概率统计的一个主要研究对象，是概率统计的重点内容之一，在概率统计中占有极其重要的位置。该章讨论一维随机变量及其概率分布。

重点内容是：（1）随机变量（分布函数及其性质、离散型随机变量、连续型随机变量、分布律、概率密度等）;（2）常见离散型随机变量的分布（0～1分布、二项分布、泊松分布、几何分布、超几何分布）;（3）常见连续型随机变量的分布（均匀分布、指数分布、正态分布）;（4）（离散型、连续型）随机变量函数的分布。常见题型有：（1）利用分布函数、分布律或概率密度计算事件的概率;（2）由给定的试验求随机变量的概率分布;（3）利用常见随机变量的分布计算事件的概率;（4）求某些随机变量简单函数的概率分布。

3  多维随机变量及其概率分布

由一维随机变量推广到二维、多维随机变量，该章继续研究随机变量的概率分布。

重点内容是：（1）二维随机变量及其概率分布（二维随机变量的定义、分布函数、离散型二维随机变量、连续型二维随机变量等）;（2）随机变量的边缘分布（边缘分布律、边缘概率密度）;（3）随机变量的相互独立性;（4）两个随机变量函数和的分布与极值分布等。常见题型有：（1）确定二维随机变量的概率分布或利用二维随机变量分布进行相关计算;（2）求二维随机变量的边缘分布和条件分布;（3）判断随机变量的相互独立性或利用随机变量的相互独立性计算相关事件的概率;（4）求两个随机变量，特别是两个独立随机变量的简单函数的分布，如和的分布、极值分布等。

4  随机变量的数字特征

由于在许多实际问题中，要确定随机变量的分布是比较困难的，而且有时并不需要全面考察随机变量的变化情况，因此研究随机变量的数字特征是非常必要的，常见的数字特征包括数学期望、方差、协方差、相关系数和矩。

重点内容是：（1）随机变量的数学期望（数学期望的定义和基本性质、随机变量函数的数学期望）;（2）随机变量的方差（方差的定义和基本性质、常见分布的数学期望和方差）;（3）随机变量的协方差、相关系数与矩（协方差与相关系数、独立性与不相关性、矩、协方差矩阵）。常见题型有：（1）计算随机变量及其函数的数学期望;（2）计算随机变量的方差;（3）计算一些随机变量简单函数的方差;（4）计算随机变量之间的协方差、相关系数并判断它们的相关性。

5  大数定律和中心极限定理

该章主要包括大数定律和中心极限定理两部分内容。

重点内容是：（1）切比雪夫（Chebyshev）不等式与大数定律（切比雪夫大数定理、伯努利（Bernoulli）大数定理和辛钦大数定理等）;（2）中心极限定理（林德伯格-列维定理、De-Moivre-Laplace定理）。常见题型有：（1）利用切比雪夫不等式估计某些事件的概率;（2）利用林德伯格-列维定理近似计算某些事件的概率;（3）利用De-Moivre-Laplace定理近似计算二项分布相关事件概率。

6  数理统计的基本概念

数理统计是用概率论的基本方法，根据试验观测到的数据来研究随机现象，从而对随机对象的客观规律性做出估計或判断。

重点内容是：（1）基本概念（总体与样本、统计量与样本矩）;（2）三个重要分布与抽样分布定理（x2分布、t分布和F分布，正态总体下的抽样分布定理）。常见题型有：（1）计算样本均值、样本方差和样本矩;（2）利用x2分布、t分布和F分布推断某些统计量的分布、性质;（3）推断正态总体的某些统计量的分布或计算相关概率。

7  参数估计

所谓参数估计，就是利用样本所得到的信息来估计有关总体分布中的未知参数。主要研究参数估计的点估计和区间估计。

重点内容是：（1）点估计（矩估计法与最大似然估计法）;（2）估计量的评选标准（无偏性、有效性与相合性）;（3）区间估计（区间估计的概念、单个正态总体均值与方差的置信区间、两个正态总体均值之差与方差之比的置信区间）。常见题型有：（1）求参数的矩估计量或估计值、最大似然估计量或估计值;（2）判断估计量的无偏性、有效性和相合性;（3）求单个或两个正态总体参数（均值和方差）的置信区间。

8  假设检验

假设检验是统计的另一类问题，主要包括参数的假设检验和非参数的假设检验。要求学生会对正态总体均值和方差行显著性检验。

重点内容是：（1）假设检验的基本方法（假设检验的基本思想、两类错误与假设检验的步骤）;（2）单个正态总体均值与方差的检验;（3）两个正态总体均值之差与方差之比的检验。常见题型有：（1）对单个正态总体的均值、方差进行检验;（2）对两个正态总体均值之差、方差之比进行检验。

在考研数学真题中，我们可以看到，概率统计的大多数试题都是基本题，主要考查学生对所学知识的理解和应用。因此，要求学生要能综合应用高等数学或微积分的基本知识，去解决相关的概率统计问题。

参考文献

[1] 盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2010.

[2] 戴立辉，林大华，林苗.概率论与数理统计教程[M].上海：同济大学出版社，2014.

[3] 教育部考试中心.全国硕士研究生招生考试数学考试大纲[M].北京：高等教育出版社，2015.