非线性欧拉方程φ(mn)=5φ(m)+8φ(n)+16的整数解

高 倩，高 丽

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

对于正整数n，欧拉函数φ(n)表示1，2…n-1中与n互素的正整数的个数。Euler函数φ(n)是数论中极为重要的一类函数，而有关该方程解的研究也是数论中极具意义的研究课题之一，引起了不少数论学者的关注，也得到了一些结论，如文献[1-4]。对于形如φ(mn)=k(φ(m)+φ(n)) (1)的Euler函数φ(n)这样的线性方程有了一定的研究。文献[5]讨论了方程(1)在k=3为素数的情况，给出了k=3时方程(1)的部分解；而文献[6]给出了k=3时方程(1)的全部解；文献[7]给出了n≥2时方程(1)的全部解；文献[8]讨论了k=4,6时方程(1)各自的解；文献[9]给出了k=5时方程(1)的全部解。而对于形如φ(mn)=aφ(m)+bφ(n)+c(2)的Euler函数φ(n)的非线性方程，文献[10]讨论了当a=3,b=4,c=16时方程 (2)的全部解。本文将讨论当a=5,b=8,c=16时非线性欧拉方程φ(mn)=5φ(m)+8φ(n)+16(3)的整数解。

1 相关引理

引理1[10]对任意正整数m与n，若m|n则

φ(m)|φ(n)。

引理2[10]对任意的正整数m与n，有

引理3[10]当n≥2时，φ(n)≤n，当n≤3时，

φ(n)必为偶数。

引理4[10]p为素数，φ(x)=2p的解x为：

(1)当p=2时，x=5，8，10，12；

(2)当p=3时，x=7，9，14，18。

引理5[11]若φ(x)=2，则x=3，4，6。

若φ(x)=22，则x=5，8，10，12。

若φ(x)=23，则x=15，16，20，24，30。

若φ(x)=24，则x=17，32，34，40，48，60。

若φ(x)=25，则x=51，64，68，80，96，102，120。

若φ(x)=26，则x=85，128，136，140，160，170，192，204。

引理6[12]若φ(x)=12，则

x=13，21，26，28，36，42；

若φ(x)=48，则

x=105，112，135，168，180，210。

2 定理及其证明

定理非线性欧拉方程φ(mn)=5φ(m)+

8φ(n)+16有正整数解：

(m,n)=(17，13)，(17，21)，(17，26)，(17，28)，(17，36)，(17，42)，(32，13)，(32，21)，(34，13)，(34，21)，(40，13)，(40，21)，(48，13)，(60，13)，(85，7)，(85，9)，(85，14)，(85，18)，(128，7)，(128，9)，(136，7)，(136，9)，(140，9)，(160，7)，(160，9)，(170，7)，(170，9)，(192，7)，(204，7)，(34，8)，(34，10)，(34，12)，(48，10)，(32，12)，(40，10)，(40，12)，(60，8)，(80，6)，(96，6)，(102，6)，(120，6)，(40，15)，(40，8)，(48，8)，(32，8)，(30，15)，(15，30)，(105，12)，(135，12)共49组。

证明设(m,n)=d，则φ(m)=m1φ(d)，φ(n)=n1φ(d)。其中m1,n1∈Z+。由方程(3)得φ(d)(dm1n1-5m1-8n1)=16则φ(d)=1，2，4，8，16。

情况1：当φ(d)=1时，有dm1n1-5m1-8n1=16。由φ(d)=1得d=1，2。

当d=1时，有m1n1-5m1-8n1=16，即有(m1-8)(n1-5)=56，根据因式与因式的所有关系，建立关系式，从而得到(m1,n1)=(9，61)，(10，33)，(5，13)，(12，19)，(16，12)，(22，9)，(36，7)，(64，6)。因为当(m1,n1)=(10，33)，(5，13)，(12，19)，(22，9)，(36，7)，(9，61)时，φ(m)，φ(n)中至少有一个大于1的奇数，因此方程(3)无解。所以(m1,n1)=(16,12),(64,6)。

当(m1,n1)=(16,12)时φ(m)=16，φ(n)=12。m=17，32，34，40，48，60；n=13，21，26，28，36，42。则(m,n)=(17，13)，(17，21)，(17，26)，(17，28)，(17，36)，(17，42)，(32，13)，(32，21)，(34，13)，(34，21)，(40，13)，(40，21)，(48，13)，(60，13)。

当(m1,n1)=(64,6)时有φ(m)=64，φ(n)=6，此时m=85，128，136，140，160，170，192；n=7，9，14，18。则(m,n)=(85，7)，(85，9)，(85，14)，(85，18)，(128，7)，(128，9)，(136，7)(136，9)，(140，9)(160，7)(160，9)(170，7)(170，9)，(192，7)，(204，7)。

当d=2时，有2m1n1-5m1-8n1=16。即有(m1-4)(2n1-5)=36。从而得到(m1,n1)=(8，7)，(16，4)，(40，3)，而(m1,n1)=(8,7)，(40，3)中至少有一个大于1的奇数，因此方程(3)无解。所以(m1,n1)=(16，4)，此时φ(m)=16，φ(n)=4。有φ(m)=16，φ(n)=4，m=17，32，34，40，48，60；n=5，8，10，12。则(m,n)=(34，8)，(34，10)，(34，12)，(48，10)。

情况2：当φ(d)=2时，dm1n1-5m1-8n1=8。由φ(d)=2得d=3，4，6。

当d=3时，3m1n1-5m1-8n1=8，即有(3m1-8)(6n1-10)=128。从而得到(m1,n1)=(3,23),(4,7),(8,3),(24,2)，而在(m1,n1)=(3,23),(4,7),(8,3)中至少有一个大于1的奇数，所以方程(3)无解。又当(m1,n1)=(24,2)时，此时φ(m)=48,φ(n)=4。而m=105，112，135，168，180，210；n=5，8，10，12。则(m,n)=(105，12)，(135，12)。

当d=4时，有4m1n1-5m1-8n1=8，即有(3m1-6)(4n1-5)=54。从而得到(m1,n1)=(8，2)，此时φ(m)=16，φ(n)=4。m=17，32，34，40，48，60；n=5，8，10，12。则(m,n)=(32，12)，(40，10)，(40，12)，(60，8)。

当d=6时，有6m1n1-5m1-8n1=8，即有(3m1-4)(6n1-5)=44。从而得到(m1,n1)=(16,1)，此时φ(m)=32，φ(n)=2，m=51，64，68，80，96，102，120；n=3，4，6。则(m,n)=(80，6)，(96，6)，(102，6)，(120，6)。

情况3：当φ(d)=4时，dm1n1-5m1-8n1=4。由φ(d)=4得d=5，8，10，12。

当d=5时，有5m1n1-5m1-8n1=4，即有(5m1-8)(n1-1)=12。从而得到(m1,n1)=(2,7),(4,2)，而当(m1,n1)=(2,7)时，方程(3)无解。则当(m1,n1)=(4,2)时，φ(m)=16,φ(n)=8。m=17，32,34,40,48,60；n=15,16,20,24,30。则(m,n)=(40，15)。

当d=8时，有8m1n1-5m1-8n1=4，即有(5m1-5)(8n1-5)=45。从而得到(m1,n1)=(4，1)，此时φ(m)=16，φ(n)=4。m=17，32，34，40，48，60；n=5，8，10，12。则(m,n)=(40,8)，(32，8)(48，8)。

当d=10时，有10m1n1-5m1-8n1=4，即有(5m1-4)(2n1-1)=8。经计算不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)无解。

当d=12时，有12m1n1-5m1-8n1=4，即有(3m1-2)(12n1-5)=22。经计算不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)无解。

情况4：当φ(d)=8时，有dm1n1-5m1-8n1=2。由φ(d)=8可得d=15，16，20，24，30。

当d=15时，有15m1n1-5m1-8n1=2，即有(15m1-8)(3n1-1)=14。从而得(m1,n1)=(1，1)，此时φ(m)=8,φ(n)=8。m=15，16，20，24，30；n=15，16，20，24，30。则(m,n)=(15，30)，(30，15)。

当d=16时，有16m1n1-5m1-8n1=2，即有(2m1-1)(16n1-5)=9。

当d=20时，有20m1n1-5m1-8n1=2，即有(5m1-2)(4n1-5)=4。

当d=24时，有24m1n1-5m1-8n1=2，即有(3m1-1)(24n1-5)=1。

当d=30时，有30m1n1-5m1-8n1=2，即有(15m1-4)(6n1-5)=10。

经计算可得，当d=16，20，24，30时，对于方程dm1n1-5m1-8n1=2，不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)只有解(m,n)=(15,30),(30,15)。

情况5：当φ(d)=16时，dm1n1-5m1-8n1=1。由φ(d)=16可得d=17，32，34，40，48，60。

当d=17时，有17m1n1-5m1-8n1=1，即有(17m1-8)(17n1-5)=57。

当d=32时，有32m1n1-5m1-8n1=1，即有(4m1-1)(32n1-5)=9。

当d=34时，有34m1n1-5m1-8n1=1，即有(34m1-8)(34n1-5)=74。

当d=40时，有40m1n1-5m1-8n1=1，即有(5m1-1)(8n1-1)=2。

当d=48时，有48m1n1-5m1-8n1=1，即有(6m1-1)(48n1-5)=11。

当d=60时，有60m1n1-5m1-8n1=1，即有(30m1-4)(12n1-1)=10。

经计算可得，当d=17，32，34，40，48，60时，对于方程dm1n1-5m1-8n1=1，不存在m1,n1∈Z+使之成立，因此方程(3)无解。

综上所述，该定理得证，即有本文结论。