问“题”怎能如愿解，应探源头思路来——例谈如何运用“怎样解题表”改进习题教学

哈尔滨师范大学(150025)张 萌

弗里德曼认为，解题是打开数学的密匙.解题无法教会，只能自己学会，数学教学的目的之一，应是使学生学会解题.但实践不能流于盲目，要渡过“题海”，还需要理论和思维的指导.波利亚于数十年间，沉浸于解题的思维与教法探析，并得到“怎样解题表”.该表从思维的角度呈现了解题活动的四个步骤，以及解题过程中的心理机制，为指导解题提供了程式化的逻辑方向，对如何建构自主、高效的“解题课堂”也有着一定的指导意义.教师运用和学生“相称”的知识，激发好奇心和求知欲，以问题为引，启发他们打开思维，去尝试独立解题;而对学生来说，既可了解如何解题，又在潜移默化之中，学会了如何解题，养成有益的思维习惯，这对未来进行正确的数学活动具有重要意义.

接下来，我们以一道题目为例，浅析如何运用“怎样解题表”改进习题教学.

一、问题呈现

例题已知椭圆和直线l:y=4x+m，试确定实数m的取值范围，使椭圆C上有两点关于直线l对称.

解析在以往的习题教学中，教师常是直接分析思路，板书解题过程;而学生只需看、听、抄就可以了.在这种模式下，学生只是被动地接受“这道题”的过程和答案，缺少了自己的思考与探究.为了避免这一问题，我们可以参考“怎样解题表”，变教为诱，以诱启思.

二、问题探究

1.弄清问题阶段

弄清问题，就是理解问题，并进行表征的过程.使学生通过对问题的有效表征，明晰已知条件、未知量和相互关系等，这是成功解题的先决条件.许多学生存在这样的困惑:为什么能听懂老师所讲的我，却很难独立完成一道习题呢? 其实，这是因为——被动接受的思路很难深入头脑，主动探求的思维才会衍生出自己的模式.因此，教会学生如何“开始”，是重要且关键的.在习题教学中，引导学生“快而准”地提取信息、展开联想，是实现高效课堂的有力举措.

问题1已知数据是什么?

直接给出的已知数据有:椭圆C的方程，和直线的不完整解析式.

问题2要求解的是什么?

要求:直线方程中m的取值范围.

问题3两者之间有何联系?

对直线l，椭圆C上有两点关于该直线对称.

问题4能否画出大致的图形?

据题意，作出图1，标明相关的数据，并引入适当的符号.

图2

问题5观察图像，有何发现? 能否用形式化的数学语言加以表达?

连接PQ(如图2)，若设椭圆上关于直线对称的两点为P(x1,y1),Q(x2,y2)，则PQ的中点坐标为由对称性可知，点M既在直线PQ上，又在直线l上.

2.拟定计划阶段

当学生已经明确若要求解未知量，需做出哪些图形或运算时，这个方案的雏形就产生了.从理解和表征题目，到构想出一个完整的解题方案，是一个复杂且曲折的过程.优秀的教师会尽量通过隐晦的提示与帮助，引导学生主动建构思维.波利亚说:解题就要先回到定义.基础的数学概念、知识如“楼之根基”，是解题思路的来源，也是审题后，选择切入点的主要依据.好的思路往往来源于过去的经验，你曾在其它题目中付诸的努力，也许会为此时的你提供幸运.再者，借助辅助题目，旧题新用，合理迁移，也不失为一良计.

问题6根据对称性，你还能得到哪些结论?

由对称性可得，PQ ⊥l，设因为两点既在直线上，又在椭圆上，联立方程并求解.

问题7回想一下，我们求解方程有哪些基本方法?

结合先前经验，联立等式后，会得到一个二次方程，我们可以利用判别式定理对方程的根的个数进行讨论; 又或者，利用基本不等式的相关结论，尝试求解.

问题8你还能想到其它的解题思路吗?

若以x为参数，可以得到关于x的一个一元二次方程;那么，若以x为参数，我们是否也可以用相同的方法尝试求解呢?

3.实施计划阶段

这是一个十分重要的阶段，因为它是把头脑中的想法具象化而付诸实践、把每一个思维步骤规范化而成为可操作的解题过程.我们应使学生认真执行方案，仔细检查每一个步骤，继续挖掘隐含的诸多条件，适时的改变思维角度，并不断开辟新的解题思路.此时，我们就获得了初步的框架.接下来，让学生尝试着在纸上写出来，并随时检查每一步是否清晰无误.

解法1 利用判别式和韦达定理求解

综上可知，点P,Q既在椭圆上，又在直线n(n ∈ℝ)上，联立方程组:，将②式代入①式中，得到:13x2-8nx+16n2-48=0 ③.设方程③的两个根为x1,x2，因为P、Q两点互异，x12，故方程有两个不等的实根，判别式Δ＞0.代入解得:又因为点M在直线l上，根据韦达定理，可以得到:从而解得:代入得:

解析上述方法利用了判别式和韦达定理，是在已有分析的基础上，结合已学知识，使多数学生在教师引导下，能够自然得解的过程.若学生构思顺利，教师就应享受清闲，让其独立完成，只需对细节问题，如书写规范性等进行适当调控.

解法2 利用基本不等式求解

得到III 式后，因为x12，利用基本不等式，有:再结合具体条件即可得到关于m的不等式.

解析任何一个数学问题都是有趣且多样的，对此题而言，在得到一元二次方程后，部分学生会自然的联想到——利用基本不等式，建立起x1,x2之间的联系，再进行求解，这当然也是正确的.教师应该鼓励学生，发散思维，积极验证.

解法3 利用直线参数方程求解

设经过M点的直线方程为:(t为参数)，代入椭圆方程中，得到一个关于t的二次方程:16t2-8x·t+(13x2-48)= 0.由P、Q在中点两侧且关于中点对称，故:t1+t2= 0 且t1t2＜0，由此建立起关于m的不等式并求解.

4.回顾反思阶段

在解题过程中，最容易被忽略的，往往就是“回顾”，这是一个十分重要且有益的阶段.一名优秀的数学教师，应该时刻使学生牢记，没有任何一道题目是完美完成了的，无论何时，我们总有问题可以去探究，总有思维可以被深化.教师应引导学生回顾完整的解题过程，总结解题经验，使学生通过再验证和再认识，重新斟酌和思考，提高学生对题目的认知，使之从感性跃至理性，进而提高解题的水平.

问题9你能检验这个结果吗?

错误总是可能存在的，在一些复杂的问题中，回头逐步检查一下，耐心求证，谨慎求解.在本例中，笔者不再加以赘述.

问题10你有哪些思考和收获? 能在其它问题中，加以利用吗?

此题考查了椭圆与直线的位置关系.在解题时，我们将有关图形的几何问题，转化成了关于方程的代数问题，巧用对称性质，结合方程思想，循序而近，并“一题多解”，从学生已经熟悉的判别式、基本不等式等多方面入手，达到优化解题的目的.试想，如果我们能把握住问题的本质，并将这种层层递进的设问，融汇于平时的解题中，或许会有许多意外的收获.如下所示.

变式1已知椭圆经过P(1,1)的直线l与椭圆交于不同的两点A,B，若点P为A,B的中点，求:直线l的方程.

解析此题的命题风格与方向和例题相似，不偏不怪，涵盖全面，同是对于椭圆与直线位置关系的考查，但设问方向相反，将例题“倒了过来”，有很强的基础性和导向性.我们可以仿照例题的求解方式，以波利亚的“四部曲”为框架，通过设置循序渐进的引导问题，指引解题方向.

变式2已知双曲线C:= 1 和直线l:y= 4x+m，试确定实数m的取值范围，使对于直线l，双曲线C上有两点关于该直线对称.

解析我们可以把椭圆、双曲线和抛物线都看作平面截圆锥面所得的截线，其本质相同.那么，我们可以仿照例题的求解方式，使学生自诘自问，独立求解.在习题教学中，应对问题进行归类和比较，使学生能有效迁移，以此知彼，举一反三，真正发挥解题的作用.

三、结语

波利亚给予我们的是一种更富层次性的思维方式，以及一种能循序接近结果的方法.对那些无从下手的问题，利用解题表逐步分析，更易探得思路和突破点.他所提出的解题步骤，从不同侧面反映出解题活动的一些特性，透析其中的心理机制与认知结构，避免孤立的、就提讲题的教学方式，帮助学生有效实现知识的整合与方法的迁移.

解题表提供了习题教学的一种典范，给予我们许多有益的启示.教师通过引导和提问，呈现出解题思维的获得过程，使学生觉得“有迹可循”，进而克服恐惧心理，形成自己的解题策略.这或许不如点金石一般完美，但它是切实可行的.若是将波利亚的解题模式，有意识的运用于习题教学，定会获益良多.