基于高中数学核心素养的教学研析——以“解三角形”为例

广东番禺中学(511483)叶悦珍

新修订的《普通高中数学课程标准(2017年版)》提出:学科核心素养是育人价值的集中体现，是学生通过学科学习而逐步形成的正确价值观念、必备品格和关键能力.数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的.数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面.这些数学学科核心素养既相互独立、又相互交融，是一个有机的整体.

基于高中数学的这六大核心素养，笔者在数学人教A 版必修5 第一章《解三角形》的教学中，注重了逻辑推理和数学建模这两大核心素养的渗透，分析如下.

一、对于公式教学，注重数学公式的证明

教师要引导学生亲自参与公式的推导证明过程，让学生知道公式是怎样来的，在公式的证明过程中渗透数学思想和数学方法，培养学生的数学核心素养.

(一).正弦定理的证明

1.利用三角形的高证明正弦定理

(1)当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据锐角三角函数的定义，有CD=asinB,CD=bsinA.由此，得同理可得，故有从而这个结论在锐角三角形中成立.

图1

(2)当△ABC是钝角三角形时，过点C作AB边上的高，交AB的延长线于点D，根据锐角三角函数的定义，有CD=asin ∠CBD=asin ∠ABC，CD=bsinA.由此，得同理可得故有

图2

由(1)(2)可知，在△ABC中，成立.从而得到:在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等，即

2.利用三角形面积证明正弦定理

已知△ABC，设BC=a,CA=b,AB=c，作AD ⊥ BC，垂足为D.则Rt△ADB中，所以AD=AB ·sinB=csinB.所以同理，可证S△ABC=所以所以absinc=bcsinA= acsinB，在等式两端同除以abc，可得即

图3

3.利用外接圆证明正弦定理

在△ABC中，已知BC=a,AC=b,AB=c，作△ABC的外接圆，O为圆心，连结BO并延长交圆于B′，设BB′= 2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAB′=90° ,∠C= ∠B′，所以所以同理，可得所以这就是说，对于任意的三角形，我们得到等式

图4

(二).余弦定理的证明

1.平面几何方法

在△ABC中，已知AC=b,BC=a，求c.

过A作AD ⊥BC于D，于是AD=ACsinC=BCsinC，CD=ACcos =bcosc，在Rt△ABD中，AB2=AD2+BD2=(bsinc)2+(a-bcosc)2=a2+b2-2abcosc.

图5

2.平面向量方法

3.解析几何方法

把顶点C置于原点，CA落在x轴的正半轴上，由于△ABC的AC=b, CB=a, AB=c，则A,B,C点的坐标分别为A(b,0),B(acosC,asinC),C(0,0).

图6

|AB|2= (acosC - b)2+(asinC -0)2=a2cos2C -2abcosC+b2+a2sin2C=a2+b2-2abcosC.

二、利用解三角形的应用提升学生的数学建模能力

数学建模是指对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、建立模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题.数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力.

例1为了开凿隧道，要测量隧道上D，E间的距离，为此在山的一侧选取适当点C，如图，测得CA=400m, CB=600m,∠ACB= 60°，又测得A，B两点到隧道口的距离AD= 80m, BE=40m(A,D,E,B在一条直线上)，计算隧道DE的长.

图7

解析在△ABC中，AC= 400m,BC=600m，∠ACB= 60°，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC · BC ·cos 60°，所以AB=

答:隧道长为(2007－120)m.

例2如图，隔河看两目标A，B，但不能到达，在岸边选取距离相距3km 的C，D两点，并测得∠ACB = 75°,∠BCD =45°,∠ADC = 30°,∠ADB = 45°(A,B,C,D在同一平面内)，求A，B之间的距离.

图8

解析在△ACD中，∠ADC= 30°,∠ACD= 120°，所以∠CAD= 30°.所以在△BCD中，∠CBD=180°-(45°+30°+45°)=60°，由正弦定理，得则在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2-2AC ·BC ·cos ∠BCA=所以所以两目标A，B之间的距离为

方法规律测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题.测量长度、距离是解三角形应用题的一种基本题型，在解这类问题时，首先要分析题意，确定已知与所求，然后画好示意图，通过解三角形确定实际问题的解.

例3如图所示，当甲船位于A处时，获悉在其正东方向相距20 海里的B处有一艘渔船遇险等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10 海里的C处的乙船，乙船立即朝北偏东θ角的方向沿直线前往B处救援，求sinθ的值.

图9

图10

解析 如图所示，连接CB.在△ABC中，∠CAB=90°+30°= 120°.由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB×AC ×cos 120°.又AC=10, AB=20，得BC2=202+102-2×20×10×所以.由正弦定理，得sin ∠ACB=又∠ACB为锐角，所以作CM ⊥ BA，交BA的延长线于点M，则θ= ∠BCM= 30°+∠ACB.所以sinθ= sin(30°+∠ACB)= sin 30°cos ∠ACB+

关于学生核心素养的提升，需要我们教师在教学过程中，更加深入地研读教材，研析考纲和课程标准，更加合理地整合教学资源.只有这样，才能提高学生学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力，不断提升数学学科核心素养.