透析翻折中的立体几何问题

■宋凯丽 魏灿帅 姚文涛

解决翻折问题的关键是抓住平面图形和立体图形之间的关系,弄清翻折前后哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化。这些没有变化的量是我们解决问题的突破口,下面就这类问题举例探讨一下。

一、翻折中点、线、面之间的位置关系问题

例1如图1,直线EF将矩形纸ABCD分为两个直角梯形ABFE和CDEF,将梯形CDEF沿边EF翻折,如图2,在翻折的过程中平面ABFE和平面CDEF不重合,则下面说法正确的是( )。

图1

图2

A.存在某一位置,使得CD∥平面ABFE

B.存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE

C.在翻折的过程中,CF∥平面ADE恒成立

D.在翻折的过程中,BF⊥平面CDEF恒成立

解：四边形DEFC是梯形,DE∥CF,CD与EF相 交,CD与 平 面ABFE相 交,A错误。DE⊥CD,故DE与EF不垂直,所以不存在某一位置,使得DE⊥平面ABFE,B错误。DE∥CF,CF⊄平面ADE,DE⊂平面ADE,所以翻折后,CF∥平面ADE恒成立,C正确。AB⊥BF,BF与EF不垂直,在翻折的过程中,BF⊥平面CDEF不成立,D错误。应选C。

友情提醒：本题主要考查同学们对图形的直观认识,考查对线线、线面平行和垂直的判定定理的理解与应用。

二、翻折中的计算问题

例2如图3,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,且AB=AD=CD。现以AD为一边向梯形外作正方形ADEF,然后沿边AD将正方形ADEF翻折,使平面ADEF与平面ABCD垂直,如图4所示。

图3

图4

(1)求证:BC⊥平面BDE。

(2)若AD=1,求点D到平面BCE的距离。

解：(1)在正方形ADEF中,ED⊥AD。

因为平面ADEF⊥平面ABCD,且平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,所以ED⊥BC。在直角梯形ABCD中,设AB=AD=a,则CD=2a,可得BC=2a。在△BCD中,BD=BC= 2a,CD=2a,所以BD2+BC2=CD2,所以BD⊥BC。又因为ED∩BD=D,所以BC⊥平面BDE。

(2)(直接法)由(2)得BC⊥平面BDE,因为BC⊂平面BCE,所以平面BDE⊥平面BCE。过点D作EB的垂线交EB于点G,则DG⊥平面BCE,所以点D到平面BCE的距离等于线段DG的长。 在Rt △BDE中,S△BDE=BD·DE=BE·DG,由此可得DG=

(等体积法)设点D到平面BCE的距离为d,由VD-BCE=VE-BCD,可得·S△BCE·d=·S△BCD·DE,由此代入可解得

友情提醒：本题主要考查直线与平面垂直的判定定理的应用,考查等体积法的应用。