非交换子群的共轭类为3的有限群

2019-12-04杨桂芳

云南民族大学学报（自然科学版） 2019年6期

陈伟,杨桂芳,孟伟

(1.广西师范大学数学与统计学院,广西桂林 541000;2.云南民族大学数学与计算机科学学院,云南昆明 650500)

0 引言

在有限群论的研究中,借助子群(如非循环子群、非交换子群、非正规子群等)的共轭类去研究有限群的结构性质是群论研究的热点，同时也是个难点.关于此方面的研究已取的较为丰富的成果[1-9].本文主要关注非交换子群的共轭类数对有限群结构的影响.设G是有限群,用τ(G)表示群G的非交换子群的共轭类数,π(G)表示整除群G阶的所有素因子的集合.显然,τ(G)=1当且仅当G为极小非交换群(即G非交换,但G的每个真子群皆交换),这类群的同构分类已被 Miller和 Moereno[1]决定.文献[10]证明了满足条件τ(G)≤3的有限群必可解,并且决定了满足条件τ(G)=4的非可解群仅有A5.文献[11]决定了满足条件τ(G)=2的有限群的同构分类.文献[12]证明了满足条件τ(G)≤|π(G)|的有限群的可解性,并给出了同构分类;同时也决定了满足条件τ(G)=|π(G)|+1的非可解群仅有A5.文献[13]决定了满足条件τ(G)=2|π(G)|-1和τ(G)=2|π(G)|-2的有限可解群的结构.

最近,文献[14]证明了:若τ(G)=|π(G)|+1，则必有|π(G)|≤3.注意到：当|π(G)|=2时，则有τ(G)=3.这说明要给出满足条件的有限群的同构分类，需要解决τ(G)=3的情形.因此作为以上研究的继续,本文主要研究满足条件τ(G)=3的有限群结构，用群论研究的方法和技巧，给出这类群的同构分类,获得了一些比较有意思的结果.

1 预备引理

一些将要用到的引理.

引理1[1]设G是有限群,则τ(G)=1当且仅当G是下列情形之一.

1)G≅Q8,8阶四元数群.

2)G≅Mn,m,p=⟨a,b|ap=bpm=1,ab=a1+pn-1⟩,其中n≥2,m≥1;

3)G≅Nn,m,p=⟨a,b,c|apn=bpm=cp=1,[a,b]=c,[a,c]=[b,c]=1⟩,n≥1,m≥1;

引理2[16]若有限p-群G有非交换极大子群，则G的非交换极大子群个数至少为p.

引理3[12]设G是非交换的可解群.

1)如果G的所有Sylow-子群皆交换,那么τ(G)≥2|π(G)|-2.

2)如果G有1个非交换的Sylow-子群,那么τ(G)≥2|π(G)|-1.

引理4[12]设G是有限群,如果τ(G)≤|π(G)|,那么G可解.进一步地,若G非可解,则τ(G)=|π(G)|+1 当且仅当G≅A5.

根据引理4,容易得如下引理.

引理5[10]设G是有限群.如果τ(G)≤3,那么G可解.进一步地,若G非可解,则τ(G)=4当且仅当G≅A5.

引理6 设G是有限群,如果τ(G)=3,那么|π(G)|≤3.特别地,若|π(G)|=3,则G的Sylow-子群皆交换.

证明设G是有限群且τ(G)=3.根据引理5知,G必可解.因此,应用引理3可得:2|π(G)|-2≤τ(G)=3,这迫使|π(G)|≤3.进一步地,若|π(G)|=3.假设G拥有非交换的Sylow-子群,则由引理3 2)可知,2|π(G)|-1=23-1=4≤τ(G)=3,矛盾.从而可知G的Sylow-子群皆交换.

2 主要结果

本节主要刻画τ(G)=3的有限群.由引理6可知,|π(G)|≤3,首先,对于|π(G)|=3,有如下结果.

定理1 设G是有限群且π(G)={p,q,r}.则τ(G)=3当且仅当G是下列情形之一.

1)G≅H×Zr2,其中H为极小非交换群且gcd(|H|,r)=1;

证明假设τ(G)=3,则由引理5可知,G可解,因此,G拥有Sylow-系,设为{P,Q,R},其中P∈Sylp(G),Q∈Sylq(G),R∈Sylr(G).由Sylow-系的性质可知,PQ,PR和QR皆为G的子群.根据引理1.6知,P,Q和R皆交换.如果PQ,PR和QR皆交换,则G=P×Q×R为交换群,这与τ(G)=3矛盾,故子群PQ,PR和QR至少有1个为非交换群,不失一般性,假设H=PQ为非交换群.接下来可分两种情况讨论.

情形1PR和QR皆交换.

此时,G=H×R.因为τ(G)=3,所以τ(H)≤2.若τ(H)=2,则可选取H的1个非交换真子群K.易知G,H,K,KR皆为G的非交换子群且彼此互不共轭.从而τ(G)≥4与τ(G)=3矛盾.故τ(H)=1,即H为引理1中的第4)类群.

接下来证明R为r2阶循环群,假设R非循环,则R至少拥有r+1个极大子群R1,…,Rr+1,相应地得到G的每个形如HRi的极大子群在G中正规且非交换,从而彼此互不共轭.这导致G至少拥有r+3非交换子群的共轭类,即τ(G)≥r+3.然而,由定理假设知,τ(G)=3.这迫使r=0,矛盾.故R为循环群.再次应用τ(G)=3可得|R|=r2,所以定理结论1)成立.

情形2PR非交换,QR=Q×R交换.

由τ(G)=3可知,集合{G,H=PQ,PR}构成G的所有非交换子群共轭类的代表系.因此,τ(PQ)=τ(PR)=1.即PQ与PR皆为极小非交换群.根据引理1知存在以下4种可能:

(Ⅰ)PQ=P:Q,PR=P:R.

由引理2知:P初等交换,Q和R循环.此时G=P:(Q×R).由于子群P:(Q×Φ(R))和P:(Φ(Q)×R)皆非交换,所以Φ(Q)=Φ(R)=1,从而G=P:(Zq×Zr) 为定理结论2).

(Ⅱ)PQ=P:Q,PR=R:P.

此时有P=[P,Q]≤QP≤QG且R◁G.因此CG(R)◁G.由于Q≤CG(R),所以P≤QG≤CG(R).从而为PR=P×R交换群,这与τ(PR)=1相矛盾.故此种情况不会发生.

(Ⅲ)PQ=Q:P,PR=P:R.

类似(Ⅱ)的讨论可知,此种情况不会发生.

(Ⅳ)PQ=Q:P,PR=R:P.

此时Q和R为初等交换群,P为循环群且G=(Q×R):P.对P、Q和R进行重新排序后可得G为定理结论3).

接下来主要研究|π(G)|=2时的有限群.

定理2 设G=P:Q是q-幂零群,其中P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).假设G非幂零.若τ(G)=3,那么Q循环,或者Q≅Z2m×Z2.进一步地有:

1)若P非交换,则Q循环且|Q|≤q2;

2)若Q≅Z2m×Z2,则P为奇素数阶循环群.

证明假设Q非循环,那么Q至少拥有q+1个极大子群Q1,…,Qq+1.由于p-群的极大子群皆正规,故每个Qi在Q中正规.又因为P为G的正规子群,所以每个形如PQi的子群皆为G的正规子群.接下来分两种情况讨论.

情形1P非交换.

此时,每个PQi皆为G的非交换子群且彼此互不共轭.连同G和P,则有τ(G)≥q+3.由于τ(G)=3,所以有q+3≤3,这迫使q=0,与q为素数相矛盾.从而Q为循环群.进一步地,若|Q|≥q3,则可选取Q的2个非同阶真子群Q1和Q2.这样便得到G,PQ1,PQ2和P皆为G的两两互不共轭的非交换子群.故有τ(G)≥4,这与τ(G)=3相矛盾.所以|Q|≤q2.

情形2P交换.

首先,证明Q是交换群.若否,假设Q非交换.由于τ(G)=3,故形如PQi(i=1,…,q+1)子群中至少有2个是交换的,设为PQi,PQj(i≠j).进一步有[P,Q]=[P,Q1Q2]=1,从而G=P×Q为幂零群,这与定理假设矛盾.因此,Q必是交换群.

其次,证明Q≅Z2m×Z2.由于τ(G)=3,则PQi之中至多有2个非交换.如果q≠2,那么PQi(i=1,…,q+1)中必有2个是交换群,从而G=P×Q为交换群,又一次与定理假设相矛盾.故必有q=2.此时,Q恰含有3个极大子群Q1,Q2,Q3,并且PQ1,PQ2和PQ3之中仅有1个是交换群.不失一般性,假设PQ1和PQ2非交换,PQ3交换.由τ(G)=3可知,PQ1和PQ2皆为极小非交换群.由引理1可知,P为初等交换群,Q1和Q2为循环群.这说明Q含有循环的极大子群,这类群已被完全分类.根据文献[15]可知,Q≅Z2m×Z2.

最后,注意到P是初等交换群,故可看作不可约Q/Φ(G)-模.由Maschke定理[15]可知,|P|=p.

定理3 设G=P×Q是幂零群,其中P∈Sylp(G)，Q∈Sylq(G).若τ(G)=3,则G≅P×Zq2,其中P为极小非交换p-群.

证明设G是幂零群.则P和Q之中至少有1个非交换(若否,G将是交换群,与τ(G)=3矛盾).不妨设P非交换.则类似于定理2中情形1的证明立即可得该定理的结论.

证明因为G无正规的Sylow-子群,所以G既非p-幂零,又非q-幂零.设H1和H2分别为G的极小非p-幂零子群和极小非q-幂零子群.由极小非p-幂零群的结构可知,显然H1和H2皆非交换,并可令H1=P1∶Q1，H2=Q2∶P2,其中P1,P2≤P,Q1，Q2≤Q且Q1，P2为循环群.

由于τ(G)=3,则G的每个非交换真子群必共轭于H1或H2,并且是G的极大子群.如果|G∶H1|等于p的方幂,|G∶H2|等于q的方幂,那么Q=Q1，P=P2皆为循环群.故G是Sylow-塔群，从而P,Q之一必正规,这与定理假设相矛盾.所以|G∶H1|与|G∶H2|皆为同一个素数的方幂.

不失一般性,设|G∶H1|=pf，|G∶H2|=pm,则Q=Q1=Q2为循环群.注意到H1和H2皆非交换,则由定理假设可知,集合Ω={G,H1,H2}构成G的所有非交换子群共轭类的表系,并且τ(H1)=τ(H2)=1.故H1和H2为引理1中的第4类群.因此Q1循环,Q2初等交换.又Q1=Q2,所以必有|Q|=|Q1|=|Q2|=q.另一方面,观察到P∉Ω,故P必为交换群.

最后,给出τ(G)=3的有限p-群结构.

定理5 设G是有限p-群.则τ(G)=3当且仅当G是下列互不同构的群之一.

1)G≅〈a,b|a8=b2m=1,[a,b]=a-2〉,m≥1；

2)G≅〈a,b|a8=b2m=1,[a,b]=a2〉,m≥1；

3)G≅〈a,b|a8=1,b2m=a4,[a,b]=a-2〉,m≥1.

证明设G是p-群.因为τ(G)=3,所以G非交换并且包含1个非交换的极大子群.根据引理2可知,G至少包含p个非交换极大子群.由于p-群的极大子群皆正规,从而这些极大子群互不共轭.再次应用τ(G)=3可得p=2,即G为非交换2-群.进一步地,由于非交换p-群至少含有p+1个极大子群,所以G恰含有2个非交换极大子群.因此,G必含有一个交换的极大子群.这类群已被完全分类(见文献16.p281,定理9.3.1).检查文献[16]的定理9.3.1的分类结果,立即可得G是定理所列的三类群之一.