U(1)自旋交换下的一维关联电子体系的相图∗

丁汉芹，张军

(1.新疆大学物理科学与技术学院，新疆 乌鲁木齐 830046；2.新疆大学理论物理中心，新疆 乌鲁木齐 830046；)

0 引言

凝聚态物理中的一维关联电子体系是个非常重要的研究课题.一方面，在理论上一维问题比相应的高维情况容易分析，有些情况下甚至有精确解.从一维问题中获得的结果为理解高维问题提供重要的数据，如二维铜氧化物的超导机制[1]，而且一维模型能描述很多实际存在的准一维材料的性质，如有机导体[2].另一方面，一维体系在实验中也可以制备出来，如碳纳米管[3]，量子线[4].尤其当前光晶格中超冷原子费米气的实现，这使得人们通过可控的方式研究多体相互作用[5,6]，极大提高了人们对一维相互作用电子体系的研究兴趣.但是一维体系中的电子因其相空间极度受制而表现为高度关联的，Hubbard模型和其相应的扩展模型成为描述电子关联的重要理论手段[7].因其在低维体系方面可能的应用和丰富的基态结构，广泛研究的是包含在位电子和最近邻电子库仑作用的扩展Hubbard模型，即通常所说的t-U-V模型.长期以来，很多研究致力于对其基态特性的理解.即便如此，t-U-V模型的相图仍然存在着争议，分歧集中在键序电荷密度波(BOW)的存在问题.在该模型的早期工作中，BOW相并没有出现，直到Nakamuru第一次报道：从弱耦合到中间耦合排斥区域，这个相存在U ≃2V 位置附近，夹在自旋密度波(SDW)相和电荷密度波(CDW)相[8]之间.随后一系列研究证实了这个二聚化相的存在[9−16].但对此也存在着不同的观点，Jeckemann等人认为BOW相只是存在CDW-SDW边界上一段短的碎片上[17]，Zhang[18]和Deng[19]等人的研究宣称BOW相是不存在的.尽管如此，大多数研究还是赞成BOW相的存在，但其中很少研究解释BOW相存在的原因，而且给出的解释也不一样.由此可见，进一步研究一维扩展Hubbard模型的基态还是很有必要的.

另一方面，传统的t-U-V模型仅仅描述了各向同性的电子，即SU(2)自旋交换型的，库仑作用V假定与内禀自旋无关.因此，得到的SDW 实际上是自旋三分量简并的临界态.在这种情况下，一个有趣的问题出现了：如果涉及的电子是自旋各向异性的，模型的基态相图会是怎么样的？如果情况果真如此，那么相互作用V将会与自旋有关.从物理上来说，这样的各向异性可以来源于晶体的各向异性结构、自旋-轨道耦合等因素.同时，在t-U-V模型中人们并没有考虑最近邻电子间自旋交换作用(J).实际上，一维t-U-J模型也是广泛的研究着一种理论模型，如一维铁磁交换中的三相超导[20]，一维反铁磁性交换中的有能隙的自旋液体[21]、铜氧化物中电荷转移[22].从相互作用角度来讲，近邻格点上电子的电荷库仑作用和自旋交换作用是可以同时存在的，并与V产生竞争作用.尤其对磁性关联电子体系来说，t-U-V-J模型更是个合适的候选者.在这篇文章中，我们考虑U(1)各向异性的相互作用，相应的哈密顿量定义为

哈密顿量(1)描述着丰富的一维多体物理，在极限情况下能简化为特定的已知模型.没有最近邻作用的情况对应著名的Hubbard模型，半满填充和在位库仑排斥作用下，它的基态是临界自旋密度波的绝缘体.没有最近邻库仑作用(V⊥=0)的情况描述着横向自旋交换的扩展Hubbard模型，展现出丰富的基态相图[23].当不存在自旋交换作用时(J⊥=0)，模型描述着自旋相反电子库仑作用的电子体系[24].在这篇文章中，我们考虑库仑作用和自旋作用竞争下的各向异性一维扩展Hubbard模型基态相图.我们只考虑半满情况，相关的倒逆过程可以存在.相互作用在弱耦合区域，以保证玻色化方法和重整化群分析能够有效运用.同时，相互作用属于物理上存在的情况，即电荷库仑作用是排斥的，自旋作用可以排斥(反铁磁)、也可以吸引(铁磁)，而不考虑唯像情形(U,V⊥<0).研究结果表明，基态相图由四个不同的绝缘相组成：无自旋激发能隙的Mott绝缘体(MI)和Haldane绝缘体(HI)、有自旋激发能隙的自旋密度波(SDW)和键序自旋密度波(BSDW).

1 低能场理论分析

一维相互作用电子体系的场理论分析依赖于弱耦合方法，即模型参数满足|U|,|J⊥|,|V⊥|≪t.低能物理主要由费米点(±kF)附近的态描述，在半满下，kF=π/2a(a是晶格常数).相互作用的低能激发是费米点附近的粒子-空穴对激发，我们只需保留费米波矢kF的电子算符的傅里叶模式.这样我们可以将谱的色散关系进行线性变换，获得二支费米子，即左费米子ψLσ和右费米子ψRσ.同时利用连续极限，x=ja且a→0.在坐标表象下，这等价于变换这样的变换导致下列连续模型的哈密顿量

其中vF=2ta是费米速度.gi(i=1,2,3,4)是电子-电子耦合常数，在动量空间中它们分别描述后向散射(g1)、前向散射(g2,g4)和倒逆散射(g3)过程，它们对相同自旋和相反自旋(gi⊥)的电子散射可以有不同的振幅.G是倒格矢，由于准动量守恒的要求，只有满足G=4kF时，才会有这说明耦合相反自旋电子(泡利不相容原理的限制)的倒逆散射只能发生在电子半满填充下.原则上应该还有自旋平行的倒逆散射它是一个自旋-电荷耦合算符，但是在弱耦合区域和重整化下它具有较高的标度维数(d≃4)，仅是一个强无关算符，因此可以像其他研究一样忽略其作用[20,25−29].

在一维电子体系中，由于自旋-电荷分离，低能激发有着独立的自旋模式和电荷模式.在这种情况下，分析(2)式描述的基态相图的一种有效工具是玻色化方法[30−32].利用这种技巧，费米场的手征分量能够通过电荷场和自旋场的互相对偶的玻色算符φν和θν(ν=c,s)顶角算符表示，

下指标r=L,R分别表示费米场的左、右支，分别对应指数中的r=−,+.同样，下指标σ=↑,↓也分别对应σ=−,+.场算符φc,θc和φs,θs分别描述集体电荷激发和集体自旋激发，并有对易关系

厄米算符克莱因子满足代数

以保证不同费米子算符的反对易关系.

这样，一维电子体系(1)的低能物理就由电荷场和自旋场的sine-Gordon理论描述，即哈密顿量可以重新写作H=Hc+Hs，其中，

L是体系的长度，电荷、自旋元激发速度vν和高斯耦合常数Gν(ν=c,s)定义为

有效哈密顿量(6)和(7)包含二个非Tomonaga-Luttinger液体过程：倒逆散射(g3⊥)和后向散射(g1⊥).在电荷-自旋分离假设下，它们的相关性可以由重整化群分析来判定.在标度变换下：a →edla，l=lnL是标度长度，无量纲的跑动耦合常数的一环重整化群方程表示为[8]

以上标度方程中，yν0(0)=2(Λν−1),ycλ(0)=g3⊥/πvc,ysλ(0)=g1⊥/πvs.这对方程描述着电荷渠道和自旋渠道的K-T相变[33]，重整化流向图如图1所示.从中看出，在yν0(0)≥|yνλ(0)|区域，yνλ(l →∞)→0，低能激发是无能隙的，∆ν=0，相场φν是个涨落场，不断振荡.这对应弱耦合区域(WC)，倒逆散射和后向散射是无关过程，体系的基态属性完全由拉亭格液体理论描述.在相反的参数区域yν0(0)<|yνλ(0)|，yνλ(l →∞)→±∞，低能激发有能隙的，∆ν>0.随着增加的长度标度，重整化流标向强耦合区域(SC)，倒逆散射和后向散射是相关过程.根据裸耦合g3⊥(g1⊥)是正还是负，相场钉扎在真空期望值

图1 重整化群流向图，箭头表示流向.WC和SC分别表示弱耦合和强耦合区域.∆ν =0表示电荷（自旋）激发无能隙，∆ν>0表示电荷（自旋）激发有能隙Fig 1 The renormalization-group flow diagram.The arrows represent the direction of flows with increasing length scale.WC and SC denote weak- and strong-coupling regimes,respectively.∆ν=0 indicates gapless excitations in the charge or spin channel,while ∆ν>0 gapped excitations

根据以上重整化群理论，我们可以分析量子相变.在低能电荷激发部分，由方程(9)和(10)可知，如果V⊥>0，总有gc0)，即不存在电荷-能隙相变.但是g3⊥可正可负，这表明高斯相变是可以发生的，对应相变线

在U+J⊥−2V⊥>0 的区域，真空期望值在相反区域

对低能自旋激发而言，情况有所不同.由于gs和g1⊥的大小关系是任意的，所以存在自旋-激发能隙相变，对应相变线

在2V⊥+J⊥>0的区域，自旋激发没有能隙(∆s=0)；在2V⊥+J⊥<0的区域，自旋激发有能隙(∆s>0)，且有

2 弱耦合基态相图

表1 不同类型的相、序参量、相场的期望值和相应的玻色化形式Tab 1 Different type of dominant phase,order parameter,the average value of phase field and the corresponding bosonized version

我们通过计算序参量和关联函数来确定基态相图.由于电荷激发总是有能隙，我们只需引入描述绝缘相的密度波序.同时考虑到自旋U(1)对称性，序参量包含相关内容总结在表一中.对应的关联函数定义为[34]

其中i = CDW,SDWα,BOW,BSDWα，α = z,±.两支相变线(15)和(16)把基态相图分为不同的四个区域，如图2所示.

区域A: V⊥0,∆s>0)，基态中无自旋能隙的Mott绝缘相(MI)和Haldane 绝缘相(HI)不会产生.在电荷部分，不动点在自旋部分，不动点自旋场由表1计算可知，序参量OCDW= OBOW=OBSDW=0，只有序参量OSDWz取非零值.因此，相图中的这个区域对应绝缘的自旋密度波相态(SDW).

区域B: −J⊥/20,∆s=0).在电荷部分，不动点电荷场在自旋部分，不动点自旋场φs振荡，是涨落场.由表1计算可知，序参量OCDW=OBSDW=0，序参量OSDWz，OBOW和OSDW±可以同时取非零值.为了进一步确定基态相，我们比较三者的关联函数(不计对数修正)，

区域C: (J⊥+U)/20,∆s>0)，无自旋能隙的Mott绝缘相(MI)和Haldane绝缘相(HI)不会出现.在电荷部分，不动点同样地，在自旋部分，不动点自旋场由表1计算可知，序参量OCDW=OBOW=OSDWz=0，只有序参量OBSDWz取非零值.因此，相图中的这个区域对应绝缘的键序自旋密度波相态(BSDW).

区域D: V⊥>max{(J⊥+U)/2;−J⊥/2}，电荷激发有能隙，但自旋激发无能隙(∆c>0,∆s=0).在电荷部分，不动点电荷场在自旋部分，不动点自旋场φs振荡，是涨落场.通过表1计算可知，序参量OSDWz=OSDW±=OBOW=0，序参量OCDW，OBSDWz和OBSDW±可以同时取非零值.为了确定最终的基态相，我们比较相应的关联函数(不计对数修正)，

图2 半满下一维t-U-V⊥-J⊥模型的弱耦合基态相图.高斯相变线V⊥+J⊥/2=0 和自旋-能隙相变线V⊥−J⊥/2=U/2把相平面分为四个不同的相区Fig 2 The weak-coupling phase diagram of the 1D t-U-V⊥-J⊥model at half filling.The Gaussian transition V⊥+J⊥/2=0 and the spin-gap transition V⊥−J⊥/2=U/2 divide the plane into four phases.

3 结论

通过低能场理论方法我们研究了一维各向异性的扩展Hubbard模型，其中最近邻电荷库仑作用和自旋交换作用都与电子自旋有关，且是U(1)对称性的.在弱耦合区域，我们利用玻色化技术把费米体系转化为玻色场算符来表示.在自旋-电荷分离假设下，我们运用重整化群方法独立分析体系的低能电荷激发和自旋激发.在半满下，倒逆过程总是相关的，基态是绝缘体.在反铁磁交换区域，后向散射过程是无关的，低能自旋激发总是无能隙的，自旋-能隙相变发生在铁磁区域.高斯相变线2V⊥−J⊥=2U和自旋-能隙相变线2V⊥+J⊥=0把相图分为四个不同的相区.通过序参量和关联函数计算，我们得到了模型的基态相图，由SDW，BSDW，MI和HI组成.我们还发现，当V⊥排斥作用不存在时，在铁磁交换J⊥≤−U的区域，电荷激发能隙消失，BSDW相受到抑制，HLE金属相形成.同时，在基态中二个准长程序的绝缘相CDW和BOW 并没出现.研究结果揭示了各向异性的扩展Hubbard模型与各向同性的模型是不同的，各向异性的相互作用对体系的基态相图有着重要的影响.