数史·挑战·探索——“奇妙的斐波那契数列”教学设计与思考

□ 王志南

【课程内容】

奇妙的斐波那契数列

1.数史呈现

意大利的数学家列昂那多·斐波那契（约1175—1250）在《计算之书》中提出了一个有趣的兔子问题：假设一对小兔子要一个月成熟，一对成熟兔子每月会生一对小兔子。那么，由一对小兔子开始，12个月后会有多少对兔子？

让我们来推算一下在第6个月结束时兔子的总数。

第1个月：只有1对小兔子；

第2个月：1对小兔子长成1对大兔子；

第3个月：这对兔子生了1对小兔子，这时共有2对兔子；

第4个月：老兔子又生了1对小兔子，而上个月出生的兔子刚成熟，这时共有3对兔子；

第5个月：这时已有2对兔子可以生殖，于是生了2对小兔子，这时共有5对兔子；

第6个月：这时已有3对兔子可以生殖，于是生了3对小兔子，这时共有8对兔子；

第7个月：……

2.关系探究

我们可以用列表的方法逐月记录兔子的繁殖情况，你能把下面的表格填写完整吗？

表1 1-12月兔子繁殖情况

到第12个月时有大兔子_对，小兔子_对，共有兔子__+__= __对。

观察上表，你发现每月小兔对数与什么有关？每月大兔对数与哪些数量有关？

每月兔子对数依次排成一列为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，……此数列被称为斐波那契数列。如此继续下去，是否要一直这样麻烦地记录下去呢？不妨让我们仔细寻找一下这些数字之间的关系吧！请把你的发现写出来。

3.点亮生活

一个楼梯共有10级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶，从地面到最上面一级台阶，一共可以有多少种不同的走法？

列表试试看吧！

表2 10级台阶的不同走法列表

思考：

有5级台阶时：若第一次迈1级台阶，还剩4级台阶，有几种走法？

若第一次迈2级台阶，还剩3级台阶，有几种走法？你有什么发现？

4.规律延伸

“斐波那契数列”有什么研究价值呢？这里我们要提到黄金分割。研究发现，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐逼近黄金分割比的。

【课堂实录】

一、故事引入，提出挑战性问题

师：同学们，王老师最近看到一则关于兔子的新闻，说的是澳大利亚兔子泛滥成灾，让我们一起去看一看。（播放视频）

师：同学们，如果用数学的眼光去看这则新闻，你知道了什么？

生：兔子的繁殖能力特别强。

师：是的，看了新闻中的数据，我们或许更为震撼！

出示文字：1859年，一些农场主将几只野兔从英国带到澳大利亚，作为休闲狩猎的猎物。由于没有鹰、狐狸等天敌，兔子在这里迅速繁殖。70年后，这里的兔子的数量达到了惊人的100亿只。

师：早在1202年，意大利数学家斐波那契就在《计算之书》中研究过兔子问题，今天我们就随着斐波那契的脚步一起来研究！

课件出示：如果一对刚出生的小兔子一个月后就能长成大兔子，再过一个月便能生下一对小兔子。并且此后每个月都能生一对小兔子，一年内没有发生死亡。那么由一对刚出生的兔子开始，到第12个月会有多少对兔子呢？

师：同学们读懂了吗？

师：你是怎样理解第一句话的？

生：一对小兔子到第2个月就长成了大兔子，要到第3个月才能生出一对小兔子。

师：一对小兔子下个月就能生小兔子吗？

生：不是，小兔子必须长成大兔子后下一个月才会生出小兔子。

师：对“此后每个月都能生一对小兔，一年内没有发生死亡”这句话怎样理解？

生：所有的小兔子长成大兔子后，每个月都能生下一对小兔子，而且不管是小兔子还是大兔子，都能健康成长，没有死亡。

师：是呀！新出生的小兔子到第3个月又可以生小兔子，它们生下的小兔子到第3个月又可以生小兔子。……同学们，你们能告诉我到第12个月，到底有多少对兔子吗？

生：太难了。

师：我国古代的思想家老子说过这样一句话：“天下难事，必作于易。”就是说遇到难度很大的问题时，我们应该从其中简单的事物入手，探索发现它的规律，然后运用这个规律来解决这一难题！（板书：从简单的想起）

师：现在，我们就用这个法宝尝试着解决问题吧！大家认为开始从第几个月研究比较好呢？

生：从第1个月开始。

二、分层探究，初探兔子数增长的规律

探究活动一：从一对小兔子开始，到第4个月时，一共有多少对兔子呢？你能用自己的方法表示出兔子从第1个月到第4个月的对数变化情况吗？

师：同学们准备怎样表示一对兔子呢？

生：可以用文字表示，一对小兔子写“小”，一对大兔子写“大”。

生：可以用一个三角形表示一对小兔子，用一个圆表示一对大兔子。

师：在这里，为了研究的方便，我们统一用一个三角形表示一对小兔子，用一个圆圈表示一对大兔子。接下来，请同学们独立研究这个问题吧！

（学生探究，教师巡视指导）

学生汇报研究结果。

生：我是这样表示的（如图1）。

图1

生：我不同意他的看法，到第4个月时，小兔子会长成大兔子，同时原来的大兔子还会再生一对小兔子。我是这样画的（如图2）。

图2

师：说得真好，这儿的大兔子每个月都会生一对小兔子。

探究活动二：到第7个月时，一共有多少对兔子呢？你能接着刚才的研究表示出兔子从第1个月到第7个月的对数变化情况吗？（画好后在图的下方标上兔子的总对数）

师：请大家边画边思考两个问题：每一个月大兔子的对数与上个月的什么数量有关？每一个月小兔子的对数与上个月的什么数量有关？

学生汇报展示。

生：我是这样表示兔子对数变化的（如图3）。

图3

师：真厉害！大家发现每个月大兔子的数量和什么有关了吗？每一个月小兔子的对数和什么有关？

生：我发现第5个月的大兔子数等于第4个月的兔子总对数，第5个月的小兔子对数等于第4个月的大兔子对数，所以它们之间的关系可以用这样的示意图来表示（如图4）。

图4

师：说得真好！到第7个月一共有多少对兔子？（板书画△、○，填写对数）

师：要想知道第12个月共有多少对兔子，该怎么办？有没有更巧妙的方法呢？

生：我们可以根据兔子总数中的规律，计算得出答案。

师：为了让规律更明确，请同学们同桌合作，完成探究活动三。

探究活动三：在表格中将1到12月的兔子数列举出来。（板书：列表）

出示表1，学生活动。

师：现在看出兔子数变化的规律了吗？你能接着推算出8到12月兔子的对数吗？

师：大家非常能干，都推算出了答案，和刚才自己猜想的结果对比一下，一样吗？

生：相差得很多，我原来猜想只有50对，让我感到很震撼。

师：意大利数学家斐波那契发现了这个有趣的数列，所以这个数列就以他的名字命名，叫作斐波那契数列（揭示课题）。谁能用自己的话说说什么样的数列叫作斐波那契数列？

生：数列中的数等于与它相邻的前两个数的和。

师：我们一起来看看数学家总结的规律：一个数列，如果从第三项起，每一项都是前两项之和，我们把这样的数列称为斐波那契数列。

三、深度探究，再探斐波那契数列之奥秘

师：斐波那契数列还有怎样的神奇之处呢？

1.奥秘探索一

探究内容：相邻的两个斐波那契数，如果用前一项除以后一项，它的商大约是多少？它们的商有怎样的规律？（除不尽的得数保留三位小数）

探究要求：

（1）借助计算器，同桌两人合作进行研究，将计算出的得数填写在研究记录中。

（2）说一说：研究中你发现了什么规律？

（3）从斐波那契数列中选两个较大（后面）的相邻数，它们的商还符合这样的规律吗？

学生交流：

生：我发现，相邻的两个斐波那契数，如果用前一项除以后一项，它的商大约是0.618。

师：是一开始商就约等于0.618吗？

生：不是，它们的商的近似值是越来越接近0.618这个数的。

师：如果选两个较大的相邻斐波那契数，它们的商还符合这样的规律吗？

生：符合。

师：我们发现，从第三项开始，前后两个数的商越来越接近一个数0.618，这个数叫作黄金分割数。看来，斐波那契数列与黄金比值有关系！

2.奥秘探索二

（1）写出下面几个斐波那契数的平方。

（2）探究提示（同桌合作进行探究）。

探究内容：

将第1个、第2个、第3个斐波那契数的平方数相加，和是多少？再继续加一个呢？你能发现所得的和中隐藏的斐波那契数吗？

展示交流：

师：谁来说说你的发现？

生：我发现 12+12+22＝2×3，12+12+22+32＝3×5……这里的斐波那契数的平方相加的和等于两个相邻斐波那契数的乘积。

师：真厉害！那同学们知道为什么12+12+22+32+52+82＝8×13吗？

3.数形结合，揭示规律

师：我们可以借助画图来思考。可以先画一个边长1厘米的正方形，它的面积表示为12，再画一个边长1厘米的正方形，它的面积还是12，再画一个边长2厘米的正方形，它的面积是22，接着画一个边长3厘米的正方形，面积用32来表示。接下来怎么画？

生：接着画边长5厘米和边长8厘米的正方形。

师：同学们请仔细观察，这些小正方形拼起来的大长方形的面积可以怎样表示？

生：12+12+22+32+52+82。

师：再仔细观察大长方形，你还发现什么？

生：大长方形的长是13厘米，宽是8厘米，所以长方形的面积还可以用8×13来计算。

师：现在大家明白为什么12+12+22+32+52+82=8×13吗？

生（齐答）：明白了。

师：大多数植物的花，其花瓣数都恰好是斐波那契数。例如，兰花、茉莉花、百合花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34，55或89个花瓣。所以斐波那契数列又被称为“大自然的密码”“上帝的指纹”！斐波那契数列的更多奥秘有待于我们去思考、去探索。

【教后反思】

斐波那契数列是人教版六年级数学教材中“比的认识”部分的补充内容，大部分教师在教学时将其作为一个课外拓展故事进行简要介绍，不会引导学生对斐波那契数列进行探究。事实上，这一教学素材可以充分地引导学生进行自主探究和数学思考，运用多种解题策略综合性地解决问题，是教学黄金分割比的有益补充，学生在探索过程中可以体验到数学的神奇。

那么，怎样挖掘斐波那契数列中所蕴含的数学教学价值呢？

一、挑战性问题驱动，引领学生走向数学深度学习

斐波那契数列非常奇妙，如果教师引导学生进行开放性的探究，学生则会在探索中发现其中的奥妙。这里的“奥妙”不仅是数学规律，更着眼于在探究中思考为什么存在这样的规律，引领学生走向数学深度学习。

数学深度学习是以知识深度加工、意义建构和深度思维为主要特征，以理解、应用、分析、推理、综合、评价、创造等高层次认知活动为主要内容的学习活动。就“斐波那契数列”一课的教学而言，教学目标不能仅仅局限于发现其中的数学规律，更在于在探索数学规律的过程中，综合运用多种数学方法展开“全景式”的数学探究活动，培养和激发学生的数学探究精神。

二、分层探究，助力学生自主发现数学规律

教学时，教师分三个层次引领学生进行自主探究：一是探究兔子从第1个月到第4个月的对数变化情况，意在引导学生“从简单想起”，同时促进学生对“一对刚出生的小兔子1个月后就能长成大兔子，再过1个月便能生下一对小兔子”“此后大兔子每个月都能生一对小兔子”等题意的理解。二是探究兔子从第1个月到第7个月的对数变化情况，并启发学生思考，每个月大兔子的对数与上个月的什么数量有关？每个月小兔子的对数与上个月的什么数量有关？三是引导学生依据发现的规律，将1到12月的兔子数用表格表示出来，让学生真正地理解兔子繁殖问题中数量之间的关联，有利于学生自主发现其中的数学规律。同时，画图、列表等多种策略的运用，有利于培养学生综合运用多种策略解决问题的能力。

三、“结构化”探究，带领学生体验数学之妙

斐波那契数列之奇妙，不仅仅在于树木的枝丫、向日葵的花瓣中，更在于斐波那契数列本身所蕴含的数学规律中。例如教学中，一是引导学生从第三项起，探索相邻的两个斐波那契数的商的规律，发现其比值接近黄金分割比；二是让学生探索斐波那契数的平方和的规律，由此引发学生思考：为什么12+12+22+32+52+82＝8×13，数形结合的精彩演绎让学生恍然大悟，惊叹不已。“结构化”的再探究，使学生发现斐波那契数列更为丰富、深刻的数学规律，体验到数学的奇妙和魅力。