明“理”解困 以“理”入法

吴央军 吕春女

摘  要：在一次县小学数学期末质量监测中，有两道考查“小数除法计算”的试题出现了“反常”的低得分率。根据样本数据分析，发现小数除法的难点主要集中在转化难度较大、对算式中各部分意义理解困难、整数除法遗留问题较多等方面。破解此类难点需要厘清小数除法中各类转化类型，抓住本质要素，课堂中基于情境，结合意义、探究获得算法，同时精心设计练习跟进“算理”“算法”，夯实除法基础，逐渐螺旋上升，提升计算素养。

关键词：计算素养;小数除法;难点破解

一、缘起：事物反常必有因

在一次县小学数学期末质量监测中，有两道考查“小数除法计算”的试题出现了“反常”的低得分率。所谓反常：一是该题预计难度系数与实测难度系数相差甚远;二是该题与其他计算题的得分率相差甚远。我们来看：

题一：列竖式计算（除不尽得数保留两位小数）：1.55÷3.9。

题二：一根4.88米的木料，每0.12米锯一段，可以锯（ ▲ ）段，还余（ ▲ ）米。

題一是一道小数除法的计算题，考查的知识有两点：一是小数除法的计算;二是求商的近似值。全县参考人数为6407人，预计得分率为75%，实际得分率只有56%。题二虽然是以填空题形式出现，考查的却是学生在计算过程中对小数除法竖式中各部分意义的理解。因此从广义上讲，这也是一个小数除法的计算题。本题预计得分率70%，实际学生的得分率是50.1%。除此二题外，其余计算题的得分率均超过80%。

为了进一步分析，笔者随机抽取了221个数据样本进行研究。该数据样本显示，题一实测难度系数0.54，满分人数118人，占53.39%，零分人数101人，占45.7%，部分得分2人，占0.9%。题二第一小问实测难度系数0.53，正确118人，占53.39%，错误103人，占46.61%;第二小问实测难度系数0.38，正确84人，占38.01%，错误137人，占61.99%。这引起了笔者的思考：对学生来说“小数除法计算”为什么会比其他计算要难？难在什么地方？

二、由现象观本质：小数除法计算难点分析

根据样本数据分析，主要有以下几个方面。

1. 小数除法转化难度较大

计算一个数除以小数，要将除数转化成整数，为了保持商不变，被除数也应该扩大相应的倍数。列竖式计算时，要通过小数点的移动来实现这一转化，外显特征为小数点位置的变化。这一变化实际包含两个步骤（以1.55÷3.9为例）：①移动除数的小数点，将除数转化成整数，即3.9转化成39，相当于将除数扩大到原来的10倍;②移动被除数的小数点，将被除数也扩大到原来的10倍。

显然，这对于学生来说并不是一件容易的事（如图1）。

由上可见，该题的转化过程出现了错误，除数的小数点向右移动了一位，而被除数的小数点却向右移动了两位。为什么会出现这种情况呢？这是因为“1.55÷3.9”中，被除数的小数位数比除数多，这种类型的例题并没有单独安排，只是在做一做中以练习的形式出现过。

反观“一个数除以小数”的例题（如图2）：

7.65÷0.85的竖式中，被除数与除数的小数位数相同，这是最简单的情况，只要同时撇去被除数与除数的小数点，就实现了全部的转化过程。该生可能受此外显操作的迁移，认为所有的小数除法都是把被除数与除数的小数点同时撇去就行了，于是得出“商的小数点与被除数的末位后面对齐”这样一个错误的结论。

2. 对算式中各部分意义理解困难

小数除法的计算中将除数转化成整数来计算后，学生对除法竖式中每一步所表示的意义理解起来非常困难。以“一根4.88米的木料，每0.12米锯一段，可以锯（ ▲ ）段，还余（ ▲ ）米”为例，竖式如图3所示：

竖式中，被除数“4.88”表示这根木料全长4.88米，除数“0.12”表示每0.12米锯一段，商“40”表示可以锯成这样的40段，余数“8”实际上是“8个0.01”，表示还余下0.08米。学生对此却没有清晰的理解。据样本数据分析，学生错误情况主要集中为以下几种（如图4、图5、图6）：

由此可以看出，学生对算式各部分意义的理解存在困难，具体表现在以下几个方面：

（1）商中每个数位上的数表示的意义理解困难。笔者认为，图4答案的整数部分出现错误，并非小数点位置的错误，是另有原因的。我们来还原计算过程（如图7）：

我们发现，学生计算4.88除以0.12时，将原式转化成488除以12进行计算，在十位上商8，个位移下来，不够商1，计算就此结束，从而得出商4余数0.08的错误结论。转化后，学生理解困难，对每个数位上商所表示的意义不是很清楚，错将4个十当成了4个一，从而造成商末尾的0漏掉了。不仅如此，我们还发现该生对“余下几米”这个问题也曾纠结过，可见其对除数和余数的区分也不是很清晰。

（2）将商的小数部分错当成余数，即图5的答案。那么这种情况是怎么来的呢？我们来看竖式（如图8）：

学生对商的小数部分理解错误，错将商的小数部分当作余下的米数。从学生的修改痕迹来看，学生仅在纠结用循环小数还是用近似值来描述，殊不知“0.7”表示的只是剩下的米数约能锯0.7段，而不是还余0.7米。

（3）余数的意义理解困难，即图6的答案。根据商不变性质，将“4.88÷ 0.12”转化成“488÷12”后，商不变，余数却随着被除数与除数的变化，扩大到原来的100倍，因而求原来的余数，应将8缩小100倍，即0.08。学生因对商不变性质理解不到位，将两者完全等同起来，所以错将转化后的余数“8”理解为“8个1”，从而得出还余8米的结论。

3. 整数除法遗留问题较多

除了转化有难度外，我们发现除法计算过程中出现的情况也较为复杂，其中很大一部分为整数除法难点的遗留问题。仍以“1.55÷3.9”为例，主要表现在以下几个方面：

（1）同一数位多次求商（如图9）：

上述错题中，学生将1.55÷3.9转化成15.5÷39后，十分位上商3余38，又用“38”除以除数，在百分位上商“0”。在这里，“38”表示十分位除后还余38个十分之一，要先添“0”，变成380个百分之一，再除以39。要避免这种错误，学生就必须明白每一步表示什么意义，正确掌握“除到哪一位，商就写在那一位的上面”。这样才不会出现同一数位多次求商的现象。

（2）初商过小不会调（如图10）：

除法中，遇到某次余数没有比除数小，说明初商过小，只需要把商调大。上述学生在百分位上商7后，余数是“107”大于“39”，却没有将百分位上的商调大，而是又用39去除了一次。究其原因，也是对算理的理解不够透彻，他不明白第二次用39去除107得到的商2还表示2个百分之一，和原来的7个百分之一合起来是9个百分之一，只需要在百分位上写9，而不是把2写在千分位上。

（3）进位退位容易错（如图11、图12）：

一个除法竖式，简直是加、减、乘、除的大集合，若遇除数数值偏大，计算难度就会增加。上述两种错误并非个别现象，据抽样分析，出错的学生中约有30%是因为进位退位不熟练而造成的。

三、据成因找对策：小数除法难点破解

1. 厘清转化类型，抓住本质要素

对学生来说，小数除法转化为整数除法的过程较为复杂，具体可细化为几种情况。

（1）除数是一个整数。如22.4÷4，可以直接除，需要注意商的小数点与被除数的小数点对齐。

（2）被除数是一个整数。如23÷1.5，列竖式时需要把被除数和除数同时扩大到原来的10倍，即小数点向右移动一位。外显操作为：在撇去除数小数点的同时需要在被除数末尾添0。

（3）除数的小数位数比被除数少。如1.55÷3.9，列竖式时需要把被除数和除数同时扩大到原来的10倍，即小数点向右移动一位。外显操作为：在撇去除数小数点，撇去被除数中“1”后面小数点的同时再往右数一位数“5”的后面点上新的小数点。

（4）除数的小数位数比被除数多。如12.6÷0.28，列竖式时需要将小数点向右移动两位，被除数的小数位数不够时需要用“0”补足。外显操作为：撇去除数的小数点和“0”，在撇去被除数小数点的同时添上一个“0”。

（5）除数的小数位数与被除数相同。如11.7÷2.6，竖式计算时只需将被除数和除数同时扩大到原来的10倍。外显操作为：同时撇去除数和被除数的小数点。

当情况变得复杂的时候，学生就容易出现错误。纠正这样的错误，就要帮助学生抓住本质要素。所有的转化类型，其依据都是“商不变性质”。夯实“商不变性质”，可帮助学生清晰掌握算理——将被除数和除数的小数点同时向右移动相同的位数，商保持不变;同时清晰掌握算法——把被除数和除数的小数点同时向右移动相同的位数，将除数转化成整数计算。只有这样，学生面对具体情况时才能思路清晰，转化正确。

2. 借助“故事”背景，落实“循理入法”

教材在编排小数除法的学习内容时，并不单以算式的形式出现，而是结合具体的情境出现。因此，教学中我们要充分利用问题的“故事”情境，结合学生的生活经验和已有知识，引导学生自主探索小数除法的计算方法，理解小数除法的算理。

（1）借“故事”明算理。以上题为例，“一根4.88米的木料，每0.12米锯一段，可以锯（   ）段，还余（   ）米”，可以借助米与厘米之间的关系来沟通“商不变性质”，即将问题转化成求“488cm里有几个12cm”，这就相当于“将被除数和除数同时扩大100倍，商不变”，引导学生发现其共同点都是将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法，从而进一步理解小数除法的算理。同时结合具体情境，理解除法竖式中每一步所表示的实际意义，这样余数“8”就表示还剩8厘米，即0.08米。

（2）为算理找“故事”。例如计算“1.55÷3.9”，引导学生思考：可以借助什么“故事”来沟通算理，除了利用长度单位还其他办法吗？让学生自主编出合理的“故事”以解释算理。学生通过思考、讨论，明白要将除数转化成整数来计算，就需要把除数和被除数同时扩大到原来的10倍，进率为十的量都可以沟通。为算理找“故事”让商不变性质不再抽象，让小数除法的算理找到落脚点。

3. 精心设计练习，跟进“以理驭法”

针对“算理”理解的练习，一直是数学学习的缺失部分。很多教师在新授课中都比较重视在理解算理的基础上总结算法，学习计算后我们通常设计“计算”与“解决问题”来跟进算法的巩固，而忽视算理的练习。事实上，除了巩固算法，我们还需要在练习中巩固对算理的理解，让学生不只是盲目地记住怎样操作，而是充分理解算理之后的算法概括，从而真正提升计算素养。

（1）“有理说得清”——让“说理”成为常规性作业。利用好教材的例题及练习题，在小数除法新课学习后可以要求学生自由选择某一竖式在同桌间互说算理、算法，说清楚如何转化，依据什么性质。如下题（图13）：

可以在计算之前说说怎样移动小数点，为什么这样移动;也可以计算之后说说怎么算的，每一步表示什么;或者可以结合具体情境，用情境解释算理。小数除法的计算练习不再是枯燥的机械训练，而是让学生能“知其然”，更“知其所以然”。

（2）“有理写得明”——让“明理”成为可外显练习。与说相比，用文字把思考过程写出来，能经过更多的整理外化。写的过程增加了调整的机会，让计算思维变得外显且可操作（如图14）。

事实上，教材中的例题给我们提供了很好的典范，只要稍加利用，进行追问或改编，就可以成为有针对性的算理練习，从而使学生在练习中强化算理与算法的结合。

（3）“有理评得出”——让“算理”成为可测试问题。不管是“国测”还是“省测”，关注过程性考核的问题都越来越受到重视。我们应该在平时的评价中自主设计需要利用算理进行解释的问题，并在阶段性测试中增加此类要求，以提高学生的重视程度，检测学生的理解程度。

4. 夯实除法基础，逐渐螺旋上升

笔算除法的得分率比其他运算要低，这是由除法竖式本身的特点所决定的。整数除法中常见的错误在小数除法中也会经常出现。要避免这些错误，就要夯实笔算除法的基础。二年级第一次接触笔算除法时，教师可以结合实物、图像，帮助学生理解除法竖式的意义、写法。三年级学习除数是一位数的除法时，巩固二年级竖式的写法，并在此基础上结合算理，让学生明确算法，掌握“除到哪一位，商就写在哪一位上面”，明白同一数位不可以多次求商。四年级学习除数是两位数的除法时，巩固二、三年级的知识，并在此基础上学习除数是两位数的除法试商、调商、求商。五年级学习的小数除法，是在二、三、四年级的基础上进一步将除数是小数的除法转化成除数是整数的除法进行计算。在螺旋上升的过程中，每一个易错点将反复出现，所以必须加强铺垫与练习，以弥补薄弱，突破难点，让学生在反复更正中不断进步。