中学数学解题中的直觉思维

余耕峰

摘   要：直觉思维有别于直觉主义，它是在逻辑基础上的一种思维方式，是直接的洞察领悟，在中学解题中起着非常重要的作用.数学直觉是从事数学发现所必须的与逻辑不同的东西，高度的直觉又来自不断积累的知识和社会经验，在解决问题中简缩思维过程，同时还要鼓励学生对问题进行大胆地推测、猜想，依据线索做出直接判断.

关键词：原解题;直觉思维;培养;判断

1  直觉有别于逻辑的特征

结果突如其来，出乎意料.

【例题1】分解因式a2+（a+1）2+（a2+a）2

分析：按学生即有的分解因式的概念和方法只能够去括号，但难以解决.在困惑中，中等学生会突然发现（a2+a）2=a2（a+1）2+（a+1）2，于是猜想：可能在分出的因式中含有因式，于是试探原式=a2+a2+2a+1+（a2+a）2=2a2+2a+1，其中想出的a（a+1）刹那，就是一种直觉思维，可见准确的概念和熟练的技巧方法，还必须以解题的策略和逻辑思维做为它的前奏.直觉并非凭空滋生，幸运并不垂青于那些毫无准备的人，牛顿可以从苹果落地这件事，而领悟万有引力，所以说直觉是发现工具，但直觉的产生必须赖以不断积累知识和逻辑分析.从阿基米德的浮体定律来说，他为什么能从浴盆溢水这样的普通事件中找到王冠之谜的答案，这与逻辑活动是分不开的.阿基米德接受海罗王的任务，并向国王借来一块与王冠所用金砖一样大小的金砖.他想，金的比重比其他金属大，如果王冠是假，它的体积必然比借来的金砖大，所以，他自然就想到通过对比王冠和金砖的体积来判断王冠是否惨假.但是王冠体积不好算，它有花纹，凹凸不平，弯弯曲曲，怎样算体积呢？连阿基米德这样的大数学家也被弄得束手无策.前面这段都是逻辑分析，阿基米德分析到这里被卡住了，他无时无刻不在思考解决方法，正是在这样的前提下，当他进入盆浴时，看到自己身体没入浴盆的深度与盆里逸出的水的体积有着某种关系.由人体而想到王冠，这样王冠体积也就可求了.在这里，阿基米德自然地运用了一系列的逻辑方法.虽然思维活动是产生直觉的准备，但直觉往往不是在冥思苦想中产生，很多事例表明，直觉常常是在原有习惯思路中断后才发生的.固定思路的沉思停止，就较容易更换思路，在某种启发下而导向科学的发现[ 1 ].这种某种启发下而猛然顿悟的过程，只能心领神会而难于言传，但也不是从天而降，它的偶然发现是不畏困难，苦心求索的必然。那么如何捕捉这种灵光一闪的某种启发呢？

2  直觉力培养

眼明手快，发现一个新的好念头立即捉住它，否则就消失.

看到题目，你先沉迷、追求、探索，始终不得其解.突然间，你注意到，求证之式恰巧是已知式中A、B互换，这种发现与你过去的知识、经验相结合，脑子中犹如电光一闪，一个想法“便犹如黑暗里透出的亮光” [ 2 ].

【分析】代换：用公式cos2A=1-sin2A去括号、化简cosA，sinA，cosB，sinB≠0，去分母有sin4A+sin4B-2sin2Asin2B=0，大功告成！

有sin4A+sin4B-2sin2Asin2B=0，解题就需要眼明手快，逮住“好念头”，让它生根、发芽、结果.

2.1  寻找诱因

灵感的迸发几乎都以通过某一信息或偶然事件的刺激诱发，可以自由的想象，科学的幻想、教的联想、大胆的怀疑，多向的反思考[ 3 ].如适才这题，若对于这一种方法仍不满足，又会思索，寻找妙法.这时，你突然发觉两式都可化为（       ）2+（       ）2=1，结合过去的经验，作如下安排：令cosX=cos2A÷cosB，

代入即可得之.多向反思，你会得到许多以前意想不到的妙法，这时，一种征服困难的愉快便会激发你探索神妙数学的好奇心和强烈的兴趣.另外激发灵感，发展直觉力，还可以通过以下几个好办法.

2.2  暗示头脑

右脑通常是主管人的潜思维即孕育着灵感的潜意识，同时调动左、右脑的积极性，激发右脑可以事半功倍.

2.3  问题暂搁

一时想不出来的，别急燥，先放下，去弄点别的东西，因为可能此时，你已“定势”，这就很需要转换思维，也许，在某一天的早上，你突然会再回到这个问题上来，并且一眼看出它的解决方向！也许在某个晚上，你竟会在梦中把它一五一十地演算出来了呢.这便是格林博士认为的“西托”，做梦也会激发灵感.

2.4  跟踪沉录

前头，我们已说过，灵感像个小精灵，稍纵即逝，好好跟蹤，当她出现，你便马上记录下来.据说爱迪生的一千多项的发明中多半来自他的小册子.掌握了这些“小窍门”你会发现直觉有许多的“无穷妙用”.

3  直觉判断

对于某些典型的选择题，让学生按步就班地计算结果，“对号”选择就失去了选择题的真正意义，完全可以凭直觉作出正确的选择.

3.1  直接挑选

【例题3】已知f（x）为有理整函数，且f（2x）+f（3x+1）=3x2+6x+1，则f[f（x）]=_____

A.x2-2x+1   B.x2-1     C.x2-2x      D.x4

由条件知f（x）的解析式当然可以算出f[f（x）]的次数不会低于4。故而一下便可找到正确选项D.

3.2  筛选

有时，我们面临的问题不易从正面入手得到答案，那么可以从反面考虑.对于某些问题，可以仔细观察，凭直觉迅速筛选.

【例题4】在下面给出的函数中，哪一个函数既是在区间（0，π/2）上的增函数，又是以π为周期的偶函数（      ）

直接验证各函数是否满足条件不易，从条件着手：周期函数A不符合，偶函数D不符合，必须在（0，π/2）上递增C不符合，最后，剩下B为正确答案.

3.3  考察特征

【例题5】若相异非零实数（y-x），y（y-x），y（x-y）构成公比为r的等比数列，则r满足______.

（A）r2+r+1=0               （B）r2-r+1=0

（C）（r+1）2+1=0           （D）以上都对

分析：考察特征，r∈R，而A，B，C都无实数根，故选D

3.4  数形结合

【例题6】两直线l与m关于y=x对称，若l的方程为y=ax+b（a不等于0，b不等于0）那么m的方程为__________.

分析：依题意画草图，可得l和m关系，它们在y轴上的截距符号相反，斜率同号，故选（B）.

3.5  整体把握

【例题7】设ΔABC的边长为10，24，26，那么它的内切圆半径r为________________.

A  6     B  10     C  8      D  4

【分析】整體上观察三边之长，发现102+242=262，

∴△ABC为Rt△.

直觉知Rt△内切圆直径d不大于任一边长，∴2r<10 ， r<5，故而选D.

直觉的洞察力在处理选择题中的作用显然是举足轻重的.一眼看穿，这是数学的眼力，利用数学的直觉发现并能预见它的结果，再加以数学推理，便无懈可击了.

4  直觉发现

4.1  解题中的发现

直觉在数学发现中有着非同寻常的灵话性，不可思议的简单性，且明捷性.

【例题8】对于35241这5位数，能否通过改变各个数字的位置把它变成一个5位素数？

分析：许多同学的做法如下，先排除个位是2，5，4的情况，再考察剩下的48种情况.但直觉明锐的同学则不然，很快发现3+5+2+4+1=15，所以不管如何排列，它都不是素数.

4.2  直觉的证明

你的直觉明锐，获得一系列直觉结果，你感到自信，但这不是说可以取消逻辑加工和证实.我们来看一个简单的问题：商人出售一对苹果5美分，3只橙子5美分.商人亏本，决定把2两种水果合起来，按5只10美分出售.

另外，直觉与逻辑方法，相得益章，相辅相成，体现了人类思维的最大的敏捷性.培养数学直觉力是培养和发展思维力的有力的工具.

参考文献：

[1]马克莱田.数学真理论[M].广州：广东教育出版社， 1999： 45-47.

[2]刘元章，马复.数学直觉与发觉[M].合肥：安微教育出版社，2002： 57-60.

[3]吕传汉.数学学习方法[M].北京：高等教育出版社，2013：103-106.