把握特性，明确目标，拆解模型

袁华风

[摘  要] 立体几何是高中数学的重点知识，以其为基础命制的考题也是高考的重点题型. 问题突破时需要学生准确把握几何特性，灵活运用理论知识建模转化. 一般而言从不同的角度思考问题可以获得不同的解题思路，实现问题的多解，文章对一道立体几何题开展多解探究、空间拆解，并开展解后反思，提出相应的教学建议.

[关键词] 立体几何;多解;体积;余弦定理;转化;拆解

考题呈现，试题点评

1. 考题呈现

（2019年高考全国卷理数第12题）已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为（  ）

A. 8 π B. 4 π

C. 2 π？摇？摇？摇 D.  π

2. 试题点评

上述试题是高中常见的立体几何求体积问题，其特点在于依托正三棱锥构建了外接球，因此解题的关键就是利用正棱锥的特性，求解外接球的半径. 从题干信息及核心突破点来看，主要考查学生对立体几何特性的掌握及空间联想能力. 对于该考题有多种突破思路，下面对其深入探究.

思路构建，多解探究

所求几何体积是正三棱锥的外接球，突破的关键是求出外接球的半径，考虑到正棱锥的特殊性，可以通过求正棱锥的边长实现，也可以转化为分析内接正方体与外接球的半径关系. 题干给出了三棱锥的相关中线、构建的几何角，突破时可以从不同的角度进行.

方法一：依托公式构建，定理转化获解

求外接球的体积，只需要求出其半径即可，所给三棱锥为正三棱锥，底面三角形为边长为2的正三角形，则△ABC的截面圆半径r=  ，则后续只需要求解点P到平面ABC的距离即可.

解：如图1所示，三棱锥P-ABC为正三棱锥，可设三棱锥的棱长PA=PB=PC=2a，底边三角形ABC的外接圆的半径为r，若设△ABC的重心为G，则CG=r.

E，F分别是PA，AB的中点，则EF=a，CF= ，在△PAC中由余弦定理可得cos∠PAC= = . 而在△EAC中，可求得EC2=a2+2. ∠CEF=90°，由勾股定理可得EC2+EF2=CF2，可解得a= ，即PC= . 在Rt△PCG中，CG=r=  ，GP=h= = ，利用正三棱锥外接球的半径公式R= ，可得R= ，再结合球的体积公式V= πR3，可得球O的体积为 π.

评析：上述方法的总体思路是借助正三棱锥外接球的半径公式R= ，将问题转化为求底面正三角形外接圆的半径为r和顶点到底面正三角形的距离h. 前者可以借助三角形的余弦定理、勾股定理转化来获得，后者则可以由正三角形性质直接获得.

方法二：综合分析体积，关系转化构形

该球是正棱锥的外接球，因此可以依托正三棱锥的特性来分析两者的体积关系，已知△ABC是边长为2的正三角形，则底边中线CF= ，又因∠CEF=90°，由勾股定理可得CF2=EF2+CE2. 在△APC和△EPC中使用余弦定理，可求得PA=PC= ，所以PA⊥PC，同理可推得PA⊥PB，PB⊥PC，因此分析可得三棱锥P-ABC的体积是外接球O的内接正方体体积的一半，因此可通过求内接正方体的边长来转化求外接球的半径.

解：设正三棱锥的棱长PA=PB=PC=b，由中线性质可得EF= PB= . ∠CEF=90°，由勾股定理可得CE= . 在△PEC中使用余弦定理可得cos∠EPC= - ，在△PAC中使用余弦定理可得cos∠APC=1- . 由∠EPC=∠APC可得 - =1- ，解得b= ，则∠APC=90°，2R= ，所以R= ，由球的体积公式V= πR3可得球O的体积为 π.

评析：上述在求解时采用了体积分析、半径转化的思路. 首先由三棱锥的特性入手，确定了外接球与内接正方体的体积关系，进而获得了半径与边长之间的长度关系. 解析过程是形象思维与逻辑推理的有效融合.

方法三：先猜后证入题，关系转化破题

题干给出了三棱锥为正三棱锥，且PA=PB=PC，因此可猜想P，A，B，C四点是球O内接正方体相邻的四个顶点，因此可以由内接正方体边长与外接球半径关系来求解，则只需要证明PA，PB，PC两两垂直即可.

解：取AC的中点为D，然后连接PD，BD，则PD⊥AC，BD⊥AC，所以AC⊥平面PBD，则PB⊥AC. 又因为∠CEF=90°，所以EF⊥EC. 点E，F分别是PA，AB的中点，所以EF∥PB，则有PB⊥EC. 而EC，AC是平面PAC内的两条相交直线，所以PB⊥平面PAC，则有PB⊥PA，PB⊥PC，同理可证PC⊥PA. 因此可由内接正方体与外接球的关系获得半径长，即2R= ，可得R= . 由球的体积公式V= πR3可得球O的体积为 π.

评析：上述在求外接球的半径时采用“猜想—证明”的方式，即猜想正三棱锥的四个顶点位于内接正方形上，通过证明线段的两两垂直证明了结论. 该方法的优势是摒弃了繁复的计算过程，从几何证明角度入手进行推理，但对解析思维具有较高的要求，推理过程需严密、有序.

关于考题的空间拆解

考题要求三棱锥的外接球体积，因此需要关注三棱錐在球O的空间位置，同时利用三棱锥的相关特性构建相应的数量关系，下面对三棱锥进行空间拆解.

拆解1：关注球心O的位置

从三棱锥摆放的空间位置来看，可将其视为是以△ABC为底面，以点P为顶点. 由于△ABC为正三角形，结合正棱锥的特性可得点P在底面上的投影就为△ABC的中心O1. 要确保三棱锥外接于球O，则顶点P，A，B，C四点到球心的距离需相等. 从平面角度考虑，则球心O在底面△ABC上的投影与△ABC的中心点O 重合，也就是其外心. 而从空间角度考虑，该点应位于过外心O1且垂直于底面△ABC的直线上.

拆解2：关于平面条件的建立

求球O的体积实际上就是求其半径，因此需要在平面内构建相应的等量关系，包括求三棱锥的棱长和底面各点、顶点到△ABC中心的距离两部分. 前者可以依托中线性质、余弦定理，后者则可以由正三角形的特性直接获得.

解后反思，教学思考

本考题是高中常见的立体几何体积问题，其特殊之处在于所求球的体积是正三棱锥的外接球，因此在突破求解时采用了不同的策略，构建了不同的思路. 同时其解法思路具有一定的代表性，具有一定的参考价值，下面对其深入总结反思.

1. 把握图形特性，明确突破目标

立体几何问题通常会涉及线段、面积、周长等内容，但在实际分析时均需要将其定位到核心线段长上，然后通过剖析图形的几何特性，结合相应的定理、公式来构建思路，因此问题突破时需要整体把握特性，明确突破目标. 以上述考题为例，无论采用何种思路，均需要将问题定位到求球的半径长上，然后由正三棱锥、正三角形、直角三角形特性来构建线段关系. 另外，在把握几何特性时应关注定点、定线、定面在空间内的位置，构建合理的模型.

2. 培养空间观念，树立模型意识

解决立体几何问题一般按照“几何解读→模型构建→平面转化”的策略进行，即首先根据题干条件读懂图形，然后结合问题来提炼模型，最后转化为平面问题来拆解分析. 在该过程中需要学生具备较强的空间几何观，能够合理地对图形进行拆分重组. 以上述考题为例，不仅需要把握正三棱锥的特性，还要对映射图像有着一定的认识，能够完成“空间”与“平面”之间的任意切换. 在实际教学中需要教师关注线线、面面、线面关系的讲解，从基本的定理入手帮助学生培养模型意识. 常考的几何图形较多，教学中可以用几何元素作为研究基础，引导学生从元素角度来看待问题，通过以“点”破“面”，由“面”窥“体”的方式完成空间观念培养.

3. 重视数形结合，发展数学思想

数形结合方法在函数中有着广泛的应用，同样适用于立体几何问题，尤其是求值类几何问题可以采用数形结合的方法. 以上述考题的方法为例，首先结合题干信息来识别图形，然后通过对图形的拆解重组转化为相应的平面问题，从而辅助后续的计算分析，即以“数”辅“形”，由“形”助“数”. 实际上，数形结合不仅是一种常用的方法策略，同样也是一种重要的数学思想，该思想的核心是“数”与“形”的互助. 在教学立体几何问题时，需要教师逐步渗透数形结合思想，结合具体内容使学生体会该思想的应用价值，深入感受运用数学思想解析问题的本质内涵，逐步提升学生的思想水平.

写在最后

求解立體几何问题，需要剖析问题本质，明确突破目标，充分利用图形特性来构建模型. 考虑到问题的切入点不同，其解题思路也具有一定的差异，在学习时需要学生牢固理论知识，熟识模型构造、条件转化等基本方法，培养良好的空间观念，以“不变应万变”来突破考题.