对一道圆锥曲线三角形面积问题的深度探究

任莉

[摘  要] 圆锥曲线是高中数学的重难点知识，高考在考查时常综合其他知识进行，其中分析圆锥曲线中三角形面积最值是较为典型的代表，该问题突破求解的关键是合理构建三角形的面积模型，联合圆锥曲线知识完成转化. 文章以一道圆锥曲线综合题为例开展解法探究，模型提炼拓展.

[关键词] 圆锥曲线;三角形;面积;模型;割补

问题呈现，解法探究

1. 问题呈现

例1：已知椭圆E的方程为 + =1 （a>b>0），其离心率为 ，点F是椭圆E的右焦点，已知点A（0，-2），直线AF的斜率为 ，设坐标的原点为O，试回答下列问题：

（1）求椭圆E的方程;

（2）过点A作动直线l，与椭圆E相交于点P和Q，试求△OPQ面积最大时直线l的方程.

2. 解法探究

（1）该问求椭圆E的方程，需要求出半轴长a和b的值，根据条件可知e= = ，点F为椭圆的右焦点，则其坐标为（c，0），则直线AF的斜率可以表示为k= = ，从而可解得a=2，c= ，则b=1，所以椭圆C的方程为 +y2=1.

（2）该问求所构△OPQ的面积最大时动直线l的方程，需要在椭圆内构建三角形模型，分析其最大值. 直线l经过定点A，其斜率不确定，需要对其加以讨论.

①当直线l的斜率不存在时，即l垂直于x轴，分析可知不符合题意.

②当直线l不与x轴相垂直时，设其斜率为k，则l可以表示为y=kx-2，设l与椭圆交点的坐标：P（x1，y1），Q（x2，y2），设原点O到PQ的距离为d，则△OPQ的面积可以表示为S△OPQ= ·PQ·d，因此只需要表示出PQ和d的长，然后联立构建函数关系即可，其中PQ可以通过联立直线l与椭圆的方程来实现，而d则可以利用点到直线的距离公式来完成，具体如下：

联立为y=kx-2与 +y2=1，整理可得（1+4k2）x2-16kx+12=0，Δ>0时可解得x1，2= ，而PQ= ·x1-x2，原点O到直线PQ的距离d= ，有S△OPQ= ·PQ·d= . 设 =t，则t>0，S△OPQ= ，而t+ ≥4，分析可知当且仅当t=2时，即k=± 时等号成立，此时△OPQ的面积取得最大值，对应的直线l的方程为y=± x-2.

评价分析，模型提炼

上述是高考常见的圆锥曲线压轴题，主要考查椭圆的标准方程、直线方程与椭圆的位置关系，其中涉及几何与函数两大模块知识，对学生的综合能力要求较高，尤其是第二问分析三角形面积最大情形下直线的方程，既需要构建相应的面积模型，又需要结合代数分析法来研究面积最值. 上述求解的突破过程有以下几点值得探究审视.

1. 把握图像联系，提取特征关系

整体来看，上述属于圆锥曲线中三角形的面积分析题，其含有两大特点：一是以椭圆为研究背景，二是所构三角形为动态图形. 因此第（2）问的求解需要准确识别图像联系，包括椭圆、动直线l的特点，以及两者之间的联系，即椭圆的长半轴位于x轴上，与动直线l有两个交点：P和Q，这两个交点与原点O构建了所求三角形.

2. 借用代数不等式，研究面积最值

无论直线与曲线的位置关系如何，最终都需要确定分析面积最值的策略，这也是圆锥曲线综合题突破的关键点.一般而言分析最值有两种策略：一是将其视为不等关系，借用不等式来完成;二是构建二次函数，利用函数性质来完成.上述解题的过程则充分考虑到问题的特殊性，融合两者，首先构建面积函数，然后借用均值不等式简化分析，从而达到了化简的目的，也为后续面积模型的构建指明了方向——设未知，构函数.

3. 数形充分融合，构建面积模型

构建求解三角形的面积模型是第（2）问求解的核心所在，也是其精华所在，求解圆锥曲线背景下的三角形面积需要充分利用圆锥曲线的相关知识和几何特点. 上述基于三角形的面积公式 bh确定了以直线与椭圆的交点弦为底，以原点到交点弦的距离为高的三角形模型，从而将交点条件充分利用. 同时上述所用的面积模型也是圆锥曲线压轴题的经典模型，其构建过程具有极大的研究价值.

【交点弦面积模型】

如图1所示，点P是椭圆内的一定点，直线l与椭圆相交于点A和B，则△ABP的面积模型可以采用如下构建方式.

将其视为以交点弦AB为底、以点P为顶点的三角形，过点P作AB的垂线，垂足为点H，则PH就为底AB上的高，所以△ABP的面积可以表示为S△ABP= ·AB·PH，其中AB可视为椭圆内的弦，PH为顶点P到直线AB的距离，設直线AB的方程为y=kx+m，因此根据相关知识有：

弦长公式：AB= ·x1-x2 （x1和x2为两交点的坐标），

点到直线的距离公式：d=PH= .

从而有S△ABP= ·AB·PH=  ·x1-x2· ，因此在实际解题时可以直接利用该面积模型来构建思路，如下所示：

【模型应用示例】

例2：设椭圆E的标准方程为 + =1，已知其两个焦点的坐标分别为（- ，0）和（ ，0），且经过点 ， .

（1）试求椭圆的方程;

（2）直线l的斜率为k，经过点（0，-2），且与椭圆相交于点A和B，试求△OAB面积的最大值.

解析：（1）该问结合焦点坐标、经过点的坐标，以及椭圆的定义，很容易求得标准方程中的a= ，b=1，所以椭圆的标准方程为 +y2=1.

（2）该问分析所构三角形的面积最大值，可以采用上述的面积模型，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线斜率存在，直线l的方程为：y=kx-2. 联立椭圆E和直线l的方程，可得（1+3k2）x2-12kx+9=0，则x1+x2= ，x1x2= . 参照模型可将△OAB视为以点O为顶点、以线段AB为底的三角形. 设点O到直线AB的距离为d，则三角形的面积可以表示为S△OAB= ·AB·d，其中AB= ·x1-x2= · ，而d= ，所以S△OAB= ·AB·d= × · × = .设 =t （t>0），则k2=t2+1，所以S△OAB=6× ，结合均值不等式可知S△OAB≤ ，当且仅当t=  时，等号成立，所以△OAB面积的最大值为 .

上述问题同样是分析圆锥曲线背景下三角形面积的最大值，引入交点弦三角形面积模型后可以直接获得解题的思路，提高解题效率. 该模型的特点是所求三角形的顶点为一定点，而弦长为动直线，此时就可利用该模型来转化构建，通过代数分析的方式完成求解.

深度拓展，模型探究

上述只是圆锥曲线三角形面积问题众多模型的一种，在求解对应问题中有着良好的解题效果，并不一定适用于其他类型的面积问题，解题时需要充分利用题干条件，结合所构三角形的特点来选用模型.若三角形与x轴或y轴相交于定点，则可以利用定点三角形模型，下面深入探究.

【定点三角形模型】

在初中阶段我们学习了求解函数综合题中一般三角形的求解方法，如对于△ADE，我们可以采用图2的割补方式，将其面积表示为S△ADE= AF·yD-yE，采用图3的割补方式将其面积表示为S△ADE= EF·xD-xA.

同样的，我们可以将该种构建方式引入在圆锥曲线背景题中，以三角形与x轴存在两个定交点为例，如图4所示，过点P的直线l与椭圆E有两个交点A和B，点Q为x轴上的一个定点，连接AQ和BQ，构建△ABQ. 基于上述面积模型，可以将其面积表示为S△ABQ= PQ·yA-yB;同理若点P和Q为y轴上的定点，则其面积可以表示为S△ABQ= PQ ·xA-xB. 因此利用该模型解题时只需要确定定长线段PQ以及点A和B的坐标即可. 考虑到点A和B均位于曲线上，则可以考虑采用方程联立的方式，结合韦达定理来等化，即xA-xB= .

【模型应用示例】

例3：已知椭圆E的标准方程为 + =1（a>b>0），其离心率为 ，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点所构三角形的周长为6+4 .

（1）试求椭圆E的标准方程;

（2）直线l与椭圆E相交于点A和B，而以AB为直径的圆经过椭圆的右焦点C，试求△ABC面积的最大值.

解析：分析可知直线l的斜率必然存在，可以将其设为x=ky+m，设交点A（x1，y1），B（x2，y2），联立椭圆E和直线l的方程，可得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0，则y1+y2=- ，y1y2= . 因为以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，则 · =0，代入坐标可确定直线AB必然過定点D ，0，则可以使用上述三角形模型，即求△ABC的面积可以表示为S△ABC= S△ADE= CD·y1-y2= ×CD× =  ，分析可确定S△ABC的最大值为 ，即△ABC面积的最大值为 .

上述同样是分析椭圆背景中的三角形面积问题，虽然题干没有表明直线l经过定点D，但根据条件可以挖掘出过定点的隐含条件，因此可以套用定点三角形模型，从而将问题简化为分析直线与椭圆交点的坐标差.

写在最后

圆锥曲线中三角形面积的求解是高中常见的问题类型，其解题的关键是联合曲线合理构建三角形的面积模型. 上述展示的是其中较为常见的面积模型，需要说明的是模型之间有着一定联系，对于同一考题有时可以基于不同的模型来分析求解，模型并没有本质的区别. 因此在实际解题时需要灵活变通，多实践总结.