揭示统计学科本质，培养数据分析能力

李永革

[摘  要] 统计学的特点是数据的变异性和背景的重要性，其目的是探索数据的内在数量规律性，为制定决策提供依据. 统计学的核心思想主要包括：样本估计总体的思想，统计推断——估计的基本思想，回归分析的基本思想，假设检验的基本思想. 在统计思想的指导下掌握统计学的研究方法，形成正确的统计思维.

[关键词] 统计学;核心概念;核心思想;核心方法

问题的提出

统计学是高中数学重要的知识模块，与实际生活联系十分紧密，作为高中数学的新增内容，是培养学生数据分析能力的重要知识载体，但实际教学的效果不尽人意. 学生对统计学产生的历史背景、研究的对象、目的和意义不甚了解，对统计学的核心观念、基本思想、研究方法理解不深，导致统计部分教学常停留在套公式计算、图表绘制的低水平层次，学生的数据收集能力、统计推断能力，对统计图表的析图、评图能力不强. 统计思维没有得到很好的发展，经常受到确定性思维的干扰，最终影响学生数据分析素养的形成和发展. 导致这些现象的一个重要原因是中学一线教师概率统计知识的储备不足，对部分概率统计基本概念的认识处于模糊状态，对大多数统计思想理解深度不够. 鉴于此，笔者认真研究了课标、教材和相关文献，试图探明统计学的学科本质、核心思想、研究方法与学科价值.

统计学核心概念、核心思想的梳理

1. 统计的意义

（1）统计学是一门关于收集、整理和分析数据的方法科学，其目的是探索数据的内在数量规律性，为制定决策提供依据.

（2）统计学的学科特点：统计学的第一个特点是数据的变异性. 统计学源于无处不在的变异现象，统计问题的解决和决策的制定必须依赖于对数据变异性的理解、解释和量化. 数据变异性的来源有很多：测量产生的变异（同一个体的多次重复测量值各不相同），自然变异（与生俱来的变异，如人天生有不同的身高、体重），取样变异（选取样本时产生的样本变异），诱导变异（如采用不同的肥料种植同一种植物所引起的植物生长情况的变异），等等. 统计学的另一个特点是背景的重要性，统计学中的数据并不仅是数，而是带有背景的数. 在数据分析中，数学模式的获得依赖于问题背景，背景提供了实际意义.

（3）获取数据的基本途径：《普通高中数学课程标准（2017年版）》明确提出了获取数据的基本途径包括统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网等.

2. 样本估计总体的思想

（1）抽样的意义：统计学的基本特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质，就是从总体中抽出一部分个体进行分析，判断整个系统的状态，这就是抽样. 抽样的意义在于，现实世界的事件和现象大量而多样，人们不可能做出完全的观察，而且有时考察还带有破坏性，所以“我们只能满足于抽样”. 统计学这种“由局部到整体”“由特殊上升到一般”的研究方法，是归纳法在数学上的特殊应用.

（2）如何提高样本的效度？应该承认，我们不能只凭抽取的样本而确切地得到总体的某个特征，但好的样本能够提高估计的精确度，这就需要样本有好的代表性. 抽样的代表性是指，被调查的对象能够反映其他未被调查的对象的性质. 为保证样本的代表性，一般从三个方面对抽样过程提出要求：？摇①抽样的规模应当尽可能地大;②抽样的范围应当尽可能地广;③样本的选取应当是随机的，即总体中每一个个体被抽到的可能性相等. 高中阶段要求学生掌握三种随机抽样方法：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样. 学生应該根据问题的特点恰当地选择抽样方法.

（3）如何对样本数据进行分析？①用直观图表进行数据分析;②用数字特征进行数据分析，主要包括反映数据集中趋势的参数——平均数、中位数、众数;反映数据离散程度的参数——标准差、方差、极差.

有研究表明，中学生对平均数的意义理解不够，往往停留在把它看成一组数据相加再除以数据个数的算法层面，而缺乏为什么用、什么时候用、如何用的能力. 不知道平均数与每一个数据偏差之和为零，不知道如果数据中出现零，计算平均数时这个零必须考虑进去，不知道平均数是一组数据的代表. 不能体会平均数对极端数据的敏感性，往往会偏向拥有极端值的一侧，因此当数据分布不对称时用中位数或众数能更好地概括这组数据. 教学中必须加强训练，让学生能在不同场合运用不同的统计量合理地反映数据的平均水平（集中趋势）.

3. 统计推断——估计的基本思想

（1）统计推断是带有概率性质的一种推理方法.统计推断是统计学的重要思想方法，它不同于数学中的演绎推理，是带有概率性质的一种推理方法. 比如有如下形式的结论：“在显著水平为0.01的前提下，认为吸烟与患肺癌有关系. ”就是在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关.

（2）抽样推断是统计推断的集中体现. 认识的世界是无限的，如何利用已知的某些信息来推断这个无限世界的一些规律和特征成为人们把握世界的一种方法. 规律所寓的对象是无穷无尽的，而我们所要观察的群体总是有限的. 总结出的规律，对整体现象的判断都是基于推断的，是利用现有信息进行的概率推断，这就是样本估计总体的实质.

（3）极大似然估计是统计推断最常用的方法. 条件不同，选择的统计推断方法也不同，极大似然估计是统计推断最常用的方法，它的理论依据是“概率最大的事件最容易在一次试验中发生”这一原理.

4. 回归分析的基本思想

（1）什么是回归分析？通常称对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫作回归分析.

（2）掌握线性回归分析的方法步骤：①明确事物间是相互联系的，认识现实生活中变量间存在的非确定性的相关关系，体会研究此类问题在现实生活中的重要性. ②作散点图，并由此对变量间的正相关与负相关关系做出直观判断. ③经历描述两个变量线性相关关系的过程，了解最小二乘法思想，能用回归直线描述线性相关关系. ④了解任何模型只能近似描述实际问题.掌握模型拟合效果的分析工具：残差分析和指标R2.

（3）理解回归模型与函数模型的区别：

（4）会将非线性回归问题转化成线性回归问题.

5. 假设检验的基本思想

（1）什么是假设检验？为了对总体的分布做出推断，首先对它们提出一个假设H0，然后在H0成立的条件下，通过选取恰当的统计量来构造一个小概率事件，若在一次试验中，小概率事件发生了，就完全有理由拒绝H0的正确性，否则，没有充分的理由拒绝H0的正确性，从而接受H0，这就是假设检验的基本思想.

（2）假设检验的理论依据. 假设检验的基本依据是小概率事件不可能性原理：概率很小的事件在一次试验中是不可能发生的.

（3）假设检验的基本步骤：①提出假设检验问题;②选择检验的指标;③根据检验指标的含义确定拒绝域的构造;④确定拒绝域中的临界值;⑤给出推断结果及其解释.

感悟与反思

章建跃博士说过“理解数学是当好数学教师的前提”. 教师对数学知识的理解水平决定了其对学生认知具体内容时的心理把握水平，所以作为教师一定要准确地把握学科本质. 在此基础上，明确学习目标，选好内容素材，确定好研究主题，设计好教学活动. 这样才能让学生在掌握相应知识技能的同时形成本门学科特有的学科能力与素养.

中小学教育是按学科进行的，每门学科都有其特殊性. 中学数学学科是由代数、几何、三角、微积分、概率统计等分支组成的. 一门学科的本质是一门学科的根本属性，主要从以下几个方面体现出来：一是学科的研究对象和基本问题;二是核心概念与范畴;三是基本的学科思想与方法，其核心是学科思维;四是核心的学科价值与精神. 统计学独特的学科特点与学科思想是培养学生数据分析能力的良好载体，它所提供的解决问题特有的视角、思维的方式、获得的经历与体验是树立统计思维的良好素材.