合理引入，科学生成，思想渗透

兰爱军

[摘  要] “直线的倾斜角与斜率”是高中数学解析几何的首节内容，教学中需要学生掌握倾斜角与斜率的概念，并认识斜率的计算公式. 本节内容较为新颖，学生理解时存在难度，教学中需要教师采用合理的教学方式，既达成教学任务，又提升学生能力. 文章将从课题引入、过程构建和思想渗透三个方面开展教学探讨.

[关键词] 倾斜角;斜率;引入;过程;思想方法

“直线的倾斜角与斜率”是人教版必修二的重要内容，也是学生高中阶段学习解析几何的开始，通过课堂教学需要使学生理解相关的概念，掌握研究几何性质的基本方法和基本思想，因此该章节内容对于解析几何的学习有着基调奠定、方法渗透的作用，下面结合教材内容探讨课堂教学建议.

遵循教学规律，合理引入课题

作为平面几何的重要内容，在教学“直线的倾斜角与斜率”时需要重点把握“倾斜角”和“斜率”两个概念. 而上述概念是学生在之前的学习中所从未接触过的，考虑到学生的认知能力和知识生成的规律，从科学发展角度思考应该遵循相应的教学理念，精心设计引入环节，使学生自然而然地完成知识的过渡.在教学引入阶段需要注意两点：一是知识联系实际的应用规律，二是知识构建的生成规律.

“直线的倾斜角与斜率”内容与我们的生活实际联系极为紧密，利用该内容的相关知识可以解决很多生活的问题，为提升后续学生知识的应用能力，在课堂引入阶段需要充分利用生活中的素材，以情景教学的方式开展课堂引入. 例如引导学生学习直线倾斜角的概念时可以给出滑雪时的图片，让学生思考如何刻画滑坡的坡度，或者给出高射炮的实物图，让学生思考如何衡量炮管的倾斜情况. 一方面利用实物激发学生的学习兴趣，另一方面使学生立足生活实际来思考数学问题.

我们知道“倾斜角”和“斜率”是沟通几何与代数的重要概念，而研究平面几何的点、线、面，以及构建倾斜角与斜率的对应关系离不开代数与几何间的重要桥梁——坐标系，也是探究直线位置关系的基础工具，因此课堂的引入环节需要关注直角坐标系的引入，使学生充分认识到坐标系在本节内容学习中的重要性. 在实际教学中，引入坐标系可以从以下两点进行：

1. 感悟作用

首先在预先准备的方格纸上绘制一个平面图形，如图1，然后让学生观察图形，用合适的语言来加以描述，确保学生在不看图的前提下可以重复准确作出该图形. 在这个过程中学生必然需要关注图形上的点，利用点的特点来重复图形，此时需要教师引导学生体会“点”是图形组成的基本要素，也是图形研究的关键，点的位置表示需要利用直角坐标系，从而顺利完成坐标系的引入.

2. 联系内容

学生在初中阶段已经学习过一次函数等相关内容，掌握了一次函数图像的作图方法，在教学“倾斜角”和“斜率”时必然离不开对直线特性的描述，因此教学中可以展示图2所示的一次函数图像，让学生思考刻画该直线是否可以不借助直角坐标系，而坐标系中的哪些要素可以确定该直线.学生根据已有知识基础可以很快得到刻画直线必须借助直角坐标系，而坐标系中点的坐标可以确定直线的位置关系. 通过函数的图像学生强化了坐标系在函数学习中的作用，而引导学生分析直线位置关系确定的几何要素为后续的知识学習奠定了基础.

关注构建过程，科学预设生成

知识的生成和发展是遵循一定科学规律的，因此在教学中需要准确把握知识间的联系，利用生成规律探索新知.“直线的倾斜角与斜率”内容的教学过程需要分两个阶段：第一阶段是把握知识联系，关注“倾斜角”概念，并利用“倾斜角”概念衍生“斜率”概念，第二阶段是利用几何变化，探讨直线“倾斜角”的范围与“斜率”的关系特性.

实际教学中，第一阶段的开展是建立在学生对“倾斜角是描述直线倾斜程度”的认知上，该过程的构建可以对上述一次函数图像进行深入探究.学生已经了解到函数上的点可以确定直线在坐标系中的位置关系，则给出如图3的图像，让学生进一步思考若是同过点P1的直线，通过怎样的操作可以重合为一条直线，逐步引导学生认识到“由一点和固定的倾斜角可以确定唯一直线”，充分了解倾斜角存在的意义. 而后续研究斜率内容，则可以借助一次函数的图像，采用“问题思考→几何画板演示k数值随α变化→列表归纳对应关系”的构建思路. 首先让学生思考除了“一点和倾斜角可以确定唯一直线”外，还可以怎样确定直角坐标系中的一次函数图像，引导学生明确利用两点来确定.然后给出一次函数的通式y=kx+b，让学生进一步思考如下问题：一次函数通式中的b是表示y轴上的截距，那么k是如何影响函数图像的特征的呢？教学时可以借助几何画板，将参数b固定，使学生观察k的变化对直线的影响情况. 最后采用列表的方式给出一些k的值，以及对应直线倾斜角，引导学生深入猜想两者之间的关系，完成由图像研究到代数分析的过渡.

第二阶段在探讨“倾斜角”的范围与“斜率”的关系特性时同样可以借助几何画板，再现一次函数图像的旋转过程，结合倾斜角的定义让学生思考其取值范围（0°≤α≤360°）以及对应的k值变化，然后引导学生关注图像旋转过程较为特殊的两个位置：平行于x轴和垂直于x轴的位置. 而在关系揭示中可以结合正切函数y=tanx（0°≤x≤180°）的图像，采用列表归纳的方式得出对应特性，如表1所示，需要注意的是在列表归纳过程中应充分尊重学生的主体地位，采用引导探究的方式.

学生在掌握对应关系之后，还有必要将其上升到数学理论高度，并归纳出对应的求解公式，实现数量关系的具体化.该过程的教学适合采用数形结合的教学方式，首先引入数学上坡度的计算公式，即坡度= （图4），并将其上升到数学本质上，即tanα=坡度. 然后引导学生根据直线上任意两点的坐标分析直线倾斜角的大小（分α=90°和α≠90°两种情况来讨论），如图5所示，当x1≠x2时，α≠90°，此时tanα= ;而当x1=x2时，α=90°，此时tanα的值不存在. 通过数形结合的方式，使学生逐步认识到“点坐标”“直线斜率”与“函数解析式”三者之间的数学关系.

渗透数学思想，发展数学思维

在教学中渗透数学的思想方法一直都是提升学生数学思维的重要方式，在这个过程中学生将体验知识的探究过程，数学思维将得到极大的锻炼. 高中阶段需要使学生掌握的思想方法有很多，但教学时需要结合具体的内容来引导，如本章节教学中可以渗透数学的建模思想，提升学生的分析思维;渗透数学的数形结合思想，提升学生的数形转化能力;渗透数学的化归转化思想，提升学生的总结归纳能力.

在本章节的多个知识点处可以渗透建模思想，主要有以下两点：一是引入倾斜角，二是衍生坡度计算公式. 以上述情景教学引入的实例为例，导入高射炮之后可以引导学生以地面所在直线为x轴，垂直于地面的方向为y轴建立直角坐标系，建立图6所示的模型，使学生体验生活实例向数学基本图形的转化过程，初步掌握数学建模的基本方法. 又如分析坡度时将生活中常见的水上滑梯抽象为数学上的三角形，将三角形的斜边视为是滑梯的滑道，则学生很容易根据模型来判断衡量坡度的几何量.

数形结合思想主要应在倾斜角与斜率关系的探究中渗透，以求通过图像的变化来确定两者的关系，例如通过几何画板来呈现直角坐标系中一次函数图像绕固定点的旋转（如图7），并完成表2的数据填写，最后结合图5的一次函数的点坐标图逐步给出对应的关系式.

数学的知识探究最终都需要上升到数学理论高度，得出相应的结论，这个过程中必然离不开数学的化归转化思想. 例如本节内容教学倾斜角的取值范围与斜率的对应特性时，需要分为α=90°和α≠90°两种情况，对应的需要将斜率化归为斜率存在和斜率不存在两种情况，并结合正切函数总结出斜率的取值范围. 又如在拓展强化阶段让学生结合初中的知识经验分析两条平行线的倾斜角以及对应的斜率，帮助学生总结出“两线平行，倾斜角相同，斜率相等”的结论，实现一般问题到数学结论的化归.

总之，对于本章节“直线的倾斜角与斜率”的知识讲解，需要教师在明确教学重难点的基础上，充分考虑学生的知识基础和认知能力，以生活中的实例为教学素材，合理引入课堂主题;而在核心知识的讲解时，应把握知识间的联系，采用预设生成的方式完成知识的构建;同时注重教学内容的思想渗透，以发展学生思维、提升学生能力作为教学重点.