曲径通幽处——个圆锥曲线结论的再证明

范长杰

【摘要】关于圆锥曲线的焦点弦问题是中学高考中的热点问题，有许多定点、定值问题的证明使得学生感到棘手，缺乏具体运算细节的指导性和示范性.希望本文起抛砖引玉的启示作用.

【关键词】圆锥曲线;焦点弦;通径;定值

在抛物线中，大家熟悉的一个结论：若过抛物线y2=2px（p>0）的焦点Fp2，0的直线与抛物线的两个交点为A，B，则有1|AF|+1|BF|=2p.

由于抛物线的通径长为2p，根据圆锥曲线的对偶性，我们大胆猜想：圆锥曲线的焦点把其焦点弦分成的两段焦半径的倒数之和为定值——通径长倒数的四倍.故应有：

（1）在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，若过椭圆的焦点F1（-c，0）的直线与椭圆的两个交点为A，B，则有1|AF1|+1|BF1|=2ab2（2）在双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）中，若过双曲线的焦点F1（-c，0）的直线与双曲线的两个交点为A，B，则有1|AF1|+1|BF1|=2ab2.

有些资料的证明技巧性过高，缺乏通性通法的解释由于学生对结论的通性通法的证明流于形式，不敢运算，或者运算不彻底，故彻底证明之.

已知在椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0，c>0;c2=a2-b2）中，过椭圆的焦点F1（-c，0）的直线与椭圆的两个交点为A，B，求证：1|AF1|+1|BF1|=2ab2.

证明 设A（x1，y1），B（x2，y2）.

（1）当过椭圆左焦点F1（-c，0）的直线斜率不存在时：即x1=x2=-c.

把x1=x2=-c代入x2a2+y2b2=1中，由于c2=a2-b2，故解得y1=-b2a;y2=b2a，证毕.

（2）当过椭圆左焦点F1（-c，0）的直线斜率存在时，设斜率为k，过F1（-c，0）的直线方程为：y=k（x+c）与椭圆方程x2a2+y2b2=1，联立方程组即：x2a2+y2b2=1，y=k（x+c）， b2x2+a2y2-a2b2=0， （1）y=k（x+c）. （2）

把（2）代入（1）化简得：

（b2+a2k2）x2+2a2k2cx+a2k2c2-a2b2=0（Δ>0），

有韦达定理得：x1+x2=-2a2k2cb2+a2k2，x1x2=a2k2c2-a2b2b2+a2k2.

又因为|AF1|=（x1+c）2+y21

=（x1+c）2+k2（x1+c）2

=1+k2|x1+c|

=1+k2（-x1-c）=-1+k2（x1+c）;

|BF1|=（x2+c）2+y22=（x2+c）2+k2（x2+c）2

=1+k2|x2+c|=1+k2（x2+c）（x1<-c，x2>c）.

從而有1|AF1|+1|BF1|

=-11+k2（x1+c）+11+k2（x2+c）

=x1-x21+k2（x1+c）（x2+c）

=x1-x21+k2[x1x2+c（x1+x2）+c2]

=-（x1+x2）2-4x1x21+k2[x1x2+c（x1+x2）+c2]

=--2a2k2cb2+a2k22-4a2k2c2-a2b2b2+a2k21+k2-c2a2k2cb2+a2k2+a2k2c2-a2b2b2+a2k2+c2

=-（2a2k2c）2（b2+a2k2）2-4（a2k2c2-a2b2）（b2+a2k2）（b2+a2k2）21+k2[-2a2k2c2b2+a2k2+a2k2c2-a2b2b2+a2k2+b2c2+a2k2c2b2+a2k2]

=-4a4k4c2-4a2b2c2k2+4a4b2k2-4a4k4c2+4a4b2k2（b2+a2k2）21+k2b2c2-a2b2b2+a2k2

=-4a2b2（a2k2+b2-c2k2）（b2+a2k2）21+k2b2（c2-a2）b2+a2k2

=4a2b2（b2k2+b2）1+k2b4

=2ab21+k21+k2b4=2ab2.

【参考文献】

[1]孙婉芬，姜国.与圆锥曲线准点有关的角平分线性质[J].中学数学，2018（10）：10.

[2]吴小海.圆锥曲线中拓展性结论及应用[J].中国校外教育，2017（9）：20.