已知三角形一边及其对角求面积最大值的新思路
2019-11-30邹帅张渝杭
邹帅 张渝杭
【摘要】目前，对某些几何与代数紧密联系的问题，通常很少有人关注到其中的联系或者找不到联系.例如，已知三角形一边及其对角求三角形面积最大值的问题都是以正余弦定理为基础辅以不等式的代数计算解答，而正余弦定理辅以不等式的代数方法求解三角形面积最大值不仅思路复杂，而且计算量相对较大，因而，有一个更简便的求解方法显得尤为重要.本文将阐述如何把已知三角形一边及其对角求面积最大值转化为平面几何问题快速求解，并做出严密论证.本文旨在通过此例说明与发掘代数与几何之间的联系，并使得数学更好地运用于实践.
【关键词】三角形面积;平面几何;正余弦定理
目前，对某些几何与代数紧密联系的问题，通常很少有人关注到其中的联系或者找不到联系.例如，对已知三角形一边及其对角求面积最大值的问题都是以正余弦定理为基础辅以不等式的代数计算解答，而正余弦定理辅以不等式的代数方法求解三角形面积最大值不仅思路复杂，而且计算量相对较大，因而，有一个更简便的求解方法显得尤为重要.思考代数与几何之间的联系，在很多时候能使得问题变得更为简单.而代数与几何的联系可以看作是数形结合的一个方面运用，数形结合被我们熟知，但是我们却常常不能深入思考几何与代数的联系.因而，本文通过一个新思路的创立与一个简单的例子说明那些被我们忽视了的代数与几何的联系.
一、代数方法
正余弦定理辅以不等式求解已知三角形一边及其对角的三角形面积最大值.
已知三角形一边c，及其对角θ.
由面积公式S=12·a·b·sinθ，
得S由a·b限定.
又余弦定理a2+b2-c2=2ab·cosθ，
即2ab·cosθ+c2=a2+b2.
由基本不等式得2ab·cosθ+c2=a2+b2≥2ab，
解得S=12absinθ≤c2sinθ4（1-cosθ）=c24tanθ2.
二、幾何方法
已知AB=c，AB所对的角为θ，C为任意取一点使得∠ACB=θ，C′是C另一个取值.
由四点共圆定理：
若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆.
可证C的运动轨迹是圆上的一段弧.
作三角形的高h⊥AB.
显然当h过圆心，即AC与BC等长时，三角形面积取得最大值.
易得c=2tanθ2，S=12h·c=c24tanθ2.
三、用代数或几何方法求阴影面积的比较
已知ABCD为正方形，边长为2，E是CD的中点，圆C的圆心为C，半径为2，AE交BQ于Q，PQ⊥AD，求阴影部分PQD面积.
（1）代数方法
设平面直角坐标系xOy，D（O）为原点，
圆C的方程为x2+（y-2）2=4，
BD段，y=2-4-x2，
直线lAE：y=12x+1.
令12x+1=2-4-x2，
即求直线与圆相交点Q的横坐标，
12x-1=-4-x2，
2-x=24-x2，
5x2-4x-12=0，
解得x=-65或x=2，又x<0，所以x=-65，
即Q点的轴坐标为-65，
S=∫0-652-4-x2dx=0.153.
（2）令PQ=a，则AP=2a，CQ=R=2，
2sinθ+2a=2，
2cosθ+a=2，
4sin2θ=（2-2a）2，
4cos2θ=（2-a）2，
求和4（sin2θ+cos2θ）=（2-2a）2+（2-a）2，
即4=4-8a+4a2+4-4a+a2，
5a2-12a+4=0，
解得a=25或a=2（舍去），
代入cosθ+2a=2，解得cosθ=45，
arccos45=0.6435rad，
扇形CQD面积S=0.6435·12π·π·22=1.287，
梯形QPDC面积S=122+2565=1.44，
阴影部分面积S=1.44-1.287=0.153.
四、讨 论
在已知三角形一边及其对角求面积最大值问题中，由几何方法计算比正余弦定理辅以不等式更简单易于理解，且计算量相对较小，因而，具优越性.现今计算方式因为此问题以代数形式问题出现，而通常盲目采用代数方法计算却忽略了几何方式，导致了计算与理解的困难.新方法的阐述，提醒着我们几何与代数的联系，并思考如何运用使问题变得更简单.
在本文所讨论的问题阴影面积计算中，虽然代数运算在计算上略微复杂于积分.但是，代数方法可以不用经过繁杂的思索，而几何的方式求解思考过程甚为繁杂.同时，因为几何方法需要用到反三角函数，看上去并不比代数方式简单.因而，需要我们结合实际，如果很方便获取反三角函数的取值，就用几何方式求解.如果不容易得到反三角函数取值，用代数会更快.这些都是代数与几何间相互联系的例子，提醒着我们时刻不要忘记代数与几何之间的联系.
于平时的运用中，我们要注重几何与代数的联系，合理地选择代数或几何方式解决问题.我们不能被问题表现形式限制了思维，我们理应通过多种思维解决问题.最终，如何使问题变得简单，使求得结果的过程变得简约，才是我们最需要做的.
