基于能量变分原理在实际工程中运用研究

(扬州大学 江苏 扬州 225100)

一、引言

弹性力学力学问题的变分原理，直接处理整个弹性系统，考虑系统的能量关系，建立泛函的变分方程，将弹性力学问题归结为在给定约束条件下求泛函极值的变分问题。基本思想是：在所有可能解中，求出最接近于精确的解，将解的问题转化为求解线性方程组。

本篇论文以变分原理为基础解决弹性力学的三大问题：1.推导弹性薄板位移形式的总势能泛函；2.利用最小势能原理推到薄板位移形式的Euler方程和自然边界条件；3.再利用上述推导出的结论，采用Ritz法求四边固定在中心承受集中力P作用下，矩形板的挠度以及中点的挠度值。这三个问题的推导对于解决实际的工程问题有很大的帮助，因此具有很高的价值。

二、公式推导以及建立物理模型

(一)弹性薄板位移形式的总势能泛函、Euler方程、自然边界条件公式推导

设弹性薄板，材料弹性模量为E，泊松比为μ。承受薄板每单位面积内的横向荷载q(包括横向面力及横向体力)。可有变分原理导出此弹性薄板的平衡微分方程和应力边界条件。

弹性体的应变能密度为：

(1)

根据小挠度薄板的弯曲假设，可忽略薄板横向应变：εz=γzx=γzy=0,可将(1)式展开可得：

(2)

薄板中的应变、弯矩、刚度可以用如下公式表示出来：

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

弹性体的变形能：U=∭U0dxdydz,于是薄板的变形能为:

(8)

将(3)、(4)、(5)、(6)、(7)式代入(8)式得：

(9)

因此弹性薄板的总势能为：

(10)

对(10)式求变分，得：

(11)

将(7)式代入(11)式得：

(12)

将(11)式化简进一步整理得：

(13)

根据最小势能原理，当δ∏=0时；薄板的总势能取得最小值。在给定边界上，由δw在区域Ω内的任意性可得欧拉方程：

(14)

由{M}=[D]{K}，得到用挠度表示的欧拉方程：

(15)

对公式(13)进行讨论矩形板的三种边界条件(如图2-1-1所示)：

图 2-1-1

3.当矩形板四边自由时：此时α=0或π(α是面的法线与轴的夹角)1=0,m=±1，代入公式(13)中，得:

My=0

(16)

(17)

对公式(17)进一步化简整理得：

(18)

(二)采用Ritz法求四边固定在中心承受集中力P作用下，矩形板的挠度以及中点的挠度值

利用上述推导出的结论，采用Ritz法求四边固定矩形板(如图2-2-1所示)在中心承受集中力P作用下，矩形板的挠度以及中点的挠度值。

图2-2-1

取坐标轴如图2-1所示，则位移边界条件为：(w)x =±a=0,(wx)x =±a=0,(w)y =±b=0,(wy)y =±b=0。

取挠度的一阶近似式进行计算：

(19)

(20)

将(19)、(20)式代入(12)总势能表达式得：

(21)

对(21)式进行化简，并对化简后的方程式求一阶变分及二阶变分得：

(22)

(23)

此时，令(22)式的一阶变分等于0，即δ∏=0，由δA11的任意性得：

(24)

将(24)式代入挠度的一阶近似式中得：

(25)

因此矩形板中心点的挠度为：

(26)

结论

与采用Ritz法求四边固定矩形板中心点挠度一致，因此此过程推导正确，在实际工程中可以使用。