带有记忆的Boussinesq方程指数吸引子的存在性

王美霞,马巧珍

(西北师范大学 数学与统计学院,兰州 730070)

0 引 言

考虑如下带有记忆的Boussinesq方程:

(1)

指数吸引子的存在性,其中:u=u(x,t)是未知函数,表示流体自由表面的运动;常系数α依赖于流体深度;Ω是N(N≥3)中具有光滑边界∂Ω的有界域;ν是∂Ω的单位外法向量;μ是记忆核;外力项不依赖于时间t.

Boussinesq[1]建立了描述浅水波水面长波传播的方程:

utt-uxx+αuxxxx=β(u2)xx,

(2)

其中:u表示流体自由表面的运动;常系数α,β依赖于流体的深度和水波的特征速度.当α>0时,方程(2)被称为“好”的Boussinesq方程.文献[2]研究了“好”的Boussinesq方程初值问题局部解的适定性;文献[3]研究了方程(2)整体解的不存在性.当α<0时,方程(2)被称为“坏”的Boussinesq方程.文献[4]将反散射理论应用于“坏”的Boussinesq方程,首次证明了在初始函数呈负指数阶一致衰减的条件下,Boussinesq方程

utt-uxx-3uxxxx=-12(u2)xx

(3)

的初值问题是可解的.文献[5]用不同方法讨论了更一般的“坏”的Boussinesq方程初边值问题解的爆破;文献[6-7]研究了阻尼Boussinesq方程

utt-2butxx=-αuxxxx+uxx+β(u2)xx,

(4)

得到了方程(4)在不同初边值条件下的整体渐近解;文献[8]研究了更一般的具阻尼Boussinesq方程

utt-auttxx-2butxx=-cuxxxx+uxx+p2+β(u2)xx

(5)

Canchy问题解的整体适定性,并给出了一个长时间渐近解.上述结果都是对Boussinesq方程初边值问题整体解的存在性和爆破性的讨论,而关于该方程整体吸引子和指数吸引子及更高正则性的研究报道较少.整体吸引子广泛应用于具有耗散结构的发展方程中[9-12],但它有本质缺陷: 吸引相空间中任意有界集的速率可以是任意慢的,而且它的分形维数可能无限.指数吸引子克服了这些缺陷,因为它不仅有有限的分形维数,而且吸引速率是指数型的、可测的.文献[13]研究了具强阻尼的Boussinesq方程

utt+Δ2u-Δut-Δg(u)=f(x)

(6)

解的长时间行为,在g(u)满足非超临界条件下得到了对应解算子半群整体吸引子及指数吸引子的存在性;文献[14]研究了具有强阻尼和夹紧边界条件的Boussinesq方程

utt-Δu+Δ2u-Δut-Δg(u)=f(x)

(7)

指数吸引子的存在性.本文在方程(7)的基础上,考虑系统的历史状态,得到方程(1).方程(1)中的记忆项给解半群紧性的验证带来困难,与文献[13-14]相比,计算更复杂,而且必须要单独验证记忆项的紧性.本文借助文献[15]的思想和方法,通过构造相对复杂的三元解相空间,再结合算子分解技巧以及紧性平移定理,获得了方程(1)指数吸引子的存在性.

1 函数集及预备知识

不失一般性,定义Hilbert空间族Vs=D(As/4),其内积和范数分别为

用‖Au‖表示D(A)的范数,其中

显然,

定义

其为一个Hilbert空间,并且赋予如下内积和范数:

方程(1)的非线性项g(u)是Lipschitz连续的,且满足如下条件:

记忆核函数μ(·)满足如下条件:

(H3)μ∈C1(+)∩L1(+),μ′(s)≤0≤μ(s),μ′(s)+δμ(s)≤0,∀s∈+,某些δ>0;

g(s)s+εs2+K1≥0, ∀s∈,

(8)

G(s)+εs2+K2≥0, ∀s∈.

(9)

根据Gronwall引理,显然由(H3)可知对所有的s≥s0>0,成立指数衰退不等式:

μ(s)≤μ(s0)e-δ(s-s0).

(10)

根据条件(H3),(H4),定义如下Hilbert空间:

并且在M上定义线性算子T,定义域为

D(T)={η∈M|∂sη∈M,η(0)=0},

其中Tη=-∂sη,∀η∈D(T),∂sη表示η关于内部变量s的分布导数.则D(T)空间上的内积可定义为

(η1,η2)D(T)=(η1,η2)M+(∂sη1,∂sη2)M.

定义1[15]给定η∈L,η在L中的尾部函数是Tη: [1,∞)→[0,∞),定义为

根据生态重建效果评价指标选取的科学性、可比性、可操作性等原则[13]，在评价体系建立中主要考虑对生态环境影响较大的诸多因素，从植被重建效果方面选取能反映矿区植被生态重建效果的11项指标。

(11)

引理1[15]若C⊂L满足下列条件:

则C在L中相对紧.

定义Hilbert空间:

且赋予范数

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V=(u1,u2)V2+(v1,v2)H+(η1,η2)L,

((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))VT=((u1,v1,η1),(u2,v2,η2))V+(∂sη1,∂sη2)M.

为得到本文的主要结果,首先需要将方程(1)转化为一个确定的自治动力系统.为此,借助文献[15-17]的思想,引入表示历史位移的变量,即

ηt(s)=u(x,t)-u(x,t-s), (x,s)∈Ω×+,t≥τ.

(12)

于是

(13)

为方便计算,取α=1+μ0,则方程(1)转化为

(14)

相应的边界条件为

(15)

初值条件为

u(x,τ)=u0(x),ut(x,τ)=u1(x),ηt(x,0)=0,ητ(x,s)=η0(x,s),

(16)

其中

(17)

问题(14)等价于如下算子方程:

(18)

定义2(指数吸引子)[18-19]设{S(t)}t≥0为完备度量空间X中的半群,如果集合M⊂X满足下列条件,则称M为半群{S(t)}t≥0的指数吸引子：

1) 集合M在X中是紧的,且具有有限的分形维数;

2) 集合M为正不变的,即S(t)M⊂M;

3) 集合M以如下方式指数吸引X中的任意有界子集,即对每个有界集B⊂X,有

dist(S(t)B,M)≤Q(‖B‖X)e-lt,

其中正常数l和单调函数Q不依赖于B.

定理1[18]设X⊂H是一不变紧子集,且Q到H是紧嵌入,存在时间t*>0,使得如下条件成立:

2) 映射S(t*): X→X有如下分解形式:

S(t*)=S0+S1,S0: X→H,S1: X→Q,

其中S0满足

S1满足

‖S1(z1)-S1(z2)‖Q≤C*‖z1-z2‖H,C*>0.

则映射S(t*): X→X存在指数吸引子A.

显然,由指数吸引子的定义,A有如下性质:

1) A在X中是紧的;

2) A具有有限的分形维数;

3) A为正不变的,有S(t)A⊂A;

4) A为半群{S(t)}t≥0的指数吸引集,即对每个有界集B⊂X,存在常数k=k(B),l>0,使得

dist(S(t)B,A)≤ke-lt.

1) 若初值(u0,u1,η0)∈H,则问题(14)-(17)有一个弱解

(u,ut,ηt)∈C([τ,T],H ), ∀T>τ,

且满足

‖z1(t)-z2(t)‖H≤ect‖z1(τ)-z2(τ)‖H,t∈[τ,T].

因此,可定义映射S(t): H→H为

S(t)(u0,u1,η0)=(u(t),ut(t),ηt(s)),t≥τ,s≥0,

其中(u(t),ut(t),ηt(s))是问题(14)-(17)的唯一弱解,算子S(t)满足半群的性质且可定义一个在H上局部Lipschitz连续的非线性C0-半群.

2 有界吸收集

2.1 H中的有界吸收集

选取与式(8),(9)相同的ε满足0<ε<1,用v=ut+εu和式(18)中的第一个方程在H中做内积可得

结合(H1)～(H3)以及Hölder,Young和Poincaré不等式,有

将式(20)～(22)代入式(19)可得

此外,有

(24)

(25)

整理式(23)～(25)可得

令

(27)

根据式(8),(9)和式(27),(28),利用Sobolev嵌入定理可得

(31)

(32)

(33)

由式(31),(32)可知

因此,对∀ρ0>M2/C1,存在t0=t0(B),使得

(35)

则B0是半群{S(t)}t≥0在H中的有界吸收集.从而有如下定理:

‖S(t)z0‖H≤R0, ∀t≥τ.

2.2 VT中的有界吸收集

引入条件：

g′(s)>-l, ∀s∈.

(36)

下面证明解半群S(t)限制在VT上时,VT上有界吸收集B1⊂VT的存在性.

证明: 用A1/2v=A1/2ut+εA1/2u和式(18)的第一个方程在H中做内积,得

结合(H1),(H2)、定理3中的有界性以及Hölder,Young和Poincaré不等式,有

且

(39)

(40)

根据式(36)和推论1,利用Sobolev嵌入定理可知

(42)

将式(38)～(42)代入式(37)并整理可得

结合Hölder不等式和推论1中的有界性,可得

则有

再利用Gronwall引理可得

P(t)≤P(0)e-ε1t+c1.

(46)

由范数的等价性,有

(47)

结合式(46),(47),得

(48)

其中c1,c3是正常数.

由文献[16-17]可知,ηt可表示为

(49)

因此,

(50)

从而有

根据式(10),(48),取δ>ε1,有

因此,可得

(53)

同时,由式(48),(49),有

ηt(0)=0, ∀t>0.

(54)

综合式(48),(53),(54)可知结论成立.

显然,由定理4可得如下推论.

2.3 H中的不变紧集

设x*=x*(μ)≥1,满足对所有的x≥x*,下列条件成立:

(55)

(56)

利用定理4和推论2,可令

其中z0=(u0,u1,η0).则存在时间tB≥0,使得当t≥tB时,S(t)B⊂K.

3 指数吸引子

‖S(t)z1-S(t)z2‖H≤L1‖z1-z2‖H, ∀t∈+,

(57)

其中L1是与R0,δ,k0有关的常数.

(58)

(59)

结合式(40)及Hölder,Young和Poincaré不等式,有

(60)

整理式(59)～(61)可得

由定理3的有界性,得

其中L1是与R0,δ,k0有关的常数.再由Gronwall引理可得结论.证毕.

引理3存在常数M>0,使得

(64)

其中:z0=(u0,u1,η0);z(t)=(u(t),ut(t),ηt(s)).

且

(65)

结合式(40)、Hölder,Young和Poincaré不等式及定理3,有

(67)

且

(68)

将式(67)～(69)代入式(66)并整理可得

显然

对式(70)利用Gronwall引理并结合式(71),有

(72)

其中M为正常数.从而可得

(73)

证明: 对任意z1,z2∈X及t1,t2∈[0,T],有

‖S(t1)z1-S(t2)z2‖H≤‖S(t1)z1-S(t1)z2‖H+‖S(t1)z2-S(t2)z2‖H,

(74)

对不等式(74)第二项,由引理3可得

‖S(t1)z1-S(t2)z2‖H≤L(|t1-t2|+‖z1-z2‖H).

定义线性空间

定理7设X⊂H是一不变紧子集,且Z到H是紧嵌入.则存在t*>0和C*>0,使得映射S(t*): X→X 有如下分解:

S(t*)=S0+S1,S0: X→H,S1: X→Z,

其中S0和S1满足下列条件:

(75)

‖S1(z1)-S1(z2)‖Z≤C*‖z1-z2‖H, ∀z1,z2∈X.

(76)

(77)

(78)

类似于前面的估计,并运用Poincaré不等式,有

(80)

(81)

整理式(79)～(81),得

引入泛函

由范数的等价性,有

(83)

结合式(36)及定理3和定理4,有

(85)

(86)

将式(85),(86)代入式(84)得

从而有

在(0,t*)上积分且结合初值条件,有

下面只需证明下式成立：

(90)

(91)

(92)

结合式(57)有

(93)

对x≥t*≥1,有

由(H4)和式(55),可得

(94)

最后,由式(92)可知

(95)

再结合式(57)知

(96)

由式(94),(95)即可得式(90),再结合式(89)则有式(76)成立.证毕.

于是,由定理6和定理7再结合定理1,即得：

1) A在H中是紧的;

2) A具有有限的分形维数;

3) A为正不变的,有S(t)A⊂A;

4) A为半群{S(t)}t≥0的指数吸引集,即对每个有界集B⊂H,存在常数k=k(B),l>0,使得dist(S(t)B,A )≤ke-lt.

推论3假设定理8的条件成立,则问题(14)全局吸引子的分形维数是有限的.