转换理论中“距离集合”的阐释及应用分析

摘 要： 大卫·列文（David Lewin）的转换理论（Transformation Theory）中Interval数值是一个非常重要的概念。从列文的“距离”（Interval）观点入手，通过分析列文提出的距离集合（Interval Function）概念，再运用实例详细阐述距离集合的定义，运用其对具体作品的分析，以期全面阐述这一概念对无调性音乐作品分析所产生的新视角及新作用。

关键词：转换理论;距离集合;嵌入集合;注入集合

中图分类号： J614      文献标识码： A

文章编号： 1004 - 2172（2019）04 - 0127 - 07

DOI：10.15929/j.cnki.1004 - 2172.2019.04.018

前 言

国音乐理论家大卫·列文（David Lewin，1933—2003）在其著作《广义音程与转换》（Generalized Musical Intervals and Transformations）  一书中，一共提出了3个集合概念，分别是距离集合（Interval Functions）﹑嵌入集合（Embedding Functions）及注入集合（Injection Functions）。这3个集合中，距离集合是列文第一个进行单独讲解并列出的集合关系，因此在对列文所探讨的3种集合关系中，我们也可以把这一集合形态理解为这3种集合的基础，并应该给予高度重视，进一步深入研究。

在列文的这一著作中，Interval被广泛理解为“距离”，而不是作为常规音乐术语被翻译为“音程”。从列文的视角而言，他更想强调的是这个概念中包含的音与音之间的“距离”关系，并且这个关系并不仅仅局限于音高，也包含有其它结构要素中所包含的對象之间的“距离”。在“广义音程距离”（GIS）中，一个重要要素是“距离的组群”（group of interval）。因此，在距离集合这一概念中，笔者将继续沿用作者的这一观点，采用“距离”的释义来作为对这一概念的理解。本文对于Function的解读涉及两方面的含义：第一，作为和Interval﹑Embedding﹑Injection等连接的名词固定搭配，采用“集合”进行释义;第二，当Function单独使用时，笔者采用了其“函数”这一释义，因为在列文整个分析体系中可以看到，由于列文数学家的特质，他运用了大量的函数公式和概念对分析理论进行定义和释义。在本文中也会涉及到一些运用分析理论对音乐作品的相关分析应用，基于此，笔者认为“函数”这一释义会更为准确地表达列文所想表达的一种数学概念。

在列文的原著中，列文将Interval Functions的表述统一缩写为了IFUNC，因此，在本文中，笔者将继续采用这一缩略形式来表示。对于这一概念，列文是这样阐述的：“IFUNC does not figure heavily in the standard literature of atonal set theory”  ，对此，笔者作如下理解：第一，列文认为，他提出的这个集合概念并未出现在权威无调性集合理论文献中;第二，列文没有采用“set”命名集合而是使用了“function”，可见他想表达的是，除了集合本身以外还有更多关于函数的概念和意义，以及他在整本书中不断强调的“Space”空间意义，而这些内容是“以前”的权威出版物中所没有涉及的。因此，这些内容是笔者着手分析的重点。

一、概念分析

列文在书中写到，当给出X﹑Y两个集合时，就可以得到一个以某一距离函数形成的IFUNC（X，Y），然后再配以不同的IVLS  ，就可以得到IFUNC（X，Y）（i）。i指不同IVLS的具体数值，以i的数值可以得到X中有多少个音可以映射到Y中。以此观察在不同的音程结构关系下X和Y的关系，从而从不同的视角揭示音乐更为隐蔽的内在联系。

先根据一个谱例进行分析，以初步理解IFUNC到底想要说明什么，以及它是如何运算的。

谱例1呈示了两个音级集合：X=（E，B）与Y=（F，A，C），当运用不同的i进行X的移位时，X中有不同个数的音符映射到Y中，并与Y中的音符一致。例如，当i=0时，IFUNC（X，Y）（0）=0，也就是说在不移位的情况下，X和Y集合中是没有一个音相同的;当i=1时，IFUNC（X，Y）（1）=1，表示这个时候，X1（F，B）有一个音F和Y集合中的F音相同，具体如下。

i = 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

IFUNC（X，Y）（i）= 0  1  0  1  0  1  0  1  0  1   0   1

在对i值进行0～11的计算中，发现了一个有趣的现象：在IFUNC中，如果i为奇数，X中就会有一个音和Y中的音相同;如果i为偶数，X中就不会有任何一个音和Y中音相同。

当然，笔者目前还无法断定这个奇数和偶数的规律是个别现象还是普遍现象。但对于i值的计算，总能让我们得出X和Y之间的共同音数目，以及在不同i值但共同音数目相同的情况下，多种结果对音乐不同层面产生的影响，从而解析集合之间更为紧密的内在联系。

综上所述，IFUNC是以强调两个集合在不同移位关系下共同音的数量的多少，并以此映射两个集合内在关系的一种分析方法。那么，对于IFUNC到底能揭示什么？这种分析和以往的集合分析又有何不同？它对音乐分析产生何种新的启迪？当然，仅靠概念阐释肯定还不足以详尽解答这些问题，因此，笔者将以列文对韦伯恩作品Op.7，No.3的前9小节的分析为基础作进一步阐述。 二、作品分析

Four Pieces for Violin and Piano是韦伯恩定稿于1914年，为小提琴和钢琴而作的一部套曲，包含4首小品。本文以第3首中的前9小节为分析对象（谱例2），笔者除了以IFUNC进行全面阐述外，还将尽量以传统集合的分析方式解析该音乐片段，以期达到传统分析方式与IFUNC分析之间的有效对比，从而更为直接地观察IFUNC所能够带来的一种新的行之有效的分析方式。

例中钢琴的右手部分从第3～8小节开始含有两条明显的旋律线，第1条旋律线是第3～5小节，第2条旋律线从第5小节的B音开始，一直到第8小节结束。这一部分是这首作品中的抒情性的旋律线，我们将这两个旋律线分别确定为X（A，B，E）和Y（B，F，E，C，E，D，F）集合。

再看小提琴声部对于Y集合的伴奏部分，这是两组固定音型的伴奏循环。笔者根据伴奏部分的中心节奏及固定音型的划分，将两组固定音型伴奏确定为集合Z0（A，D，E，A）及Z3（C，F，F，B）， Z0和Z3的命名是以Z集合T3的音程距离来确定的（谱例3）。这两个集合刚好是一个T3关系的移位，从这一点中也可以看出作品伴奏的音高组织的统一性。

通过对X、Y、Z0、Z3集合的整体观察，发现不仅仅是Z0和Z3集合，X与Y集合之间也是以T3的音程距离来进行音乐发展的，整个X集合都以T3的关系与Y集合一开始出现的3个音B、F、E完全符合（谱例4）。因此，当音程距离关系为T3时，决定了（Z0，Z3）以及（X，Y）集合中的IFUNC最大值。

再来看X和Z0以及Y和Z3的映射关系，在X集合中，开始的第一个音和最后一个音分别映射Z0集合的最后一个音及倒数第二个音;而Y集合中，同样第一个音映射Z3集合的最后一个音及倒数第二个音，从谱面分析来看，配合crescendo的渐强处理进一步体现了空间上的映射结果，这也是列文在著作中一直强调的空间（space）的映射作用，这个对比结果包含了各个方面的因素。同时，Z0及Z3集合的内部同样以T3的关系映射，将这两个集合的固定音型分为两个两音组，那么，Z0的前两个音（A，D）同Z3的前两个音（E，A）以及Z0的后两个音（C，F）同Z3的后两个音（F，B）分别以T3的关系严格对称。

在上述基本分析中，笔者将整个集合的各种关系进行了一个距离移位上的关系分类，下面将用这4组关系进行IFUNC的具体分析。

（一）集合（X，Y）

从旋律的主要集合（X，Y）入手，通过不同i值的计算，可得到以下结果：

i = 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

IFUNC（X，Y）（i）= 1  2  1  3  1  2  2  2  3  1   2   1

從上述计算列表中可以看出所有移位关系状态下（X，Y）集合中的IFUNC值。当i=3或i=8时，X将有3个音映射在Y中，形成该集合分析状态下的IFUNC最大值。在前面的分析中提到过，当集合在T3状态下移位时，X集合中有3个音全部映射到Y集合中，这样产生的结果与i=3时的计算结果相同，因此本文不再赘述。下面主要对i=8时的映射情况进行具体分析。

X集合为（A，B，E）， 当i=8时，T8（X）=（E，F，B），观察乐谱可以发现，T8（X）集合刚好映射Y集合中的边缘化音符（boundary tones）。列文认为边缘化音符是作曲家在创作时安排在最重要的位置、最能说明音乐特点的音符。B是Y集合中的第一个音，F是Y集合的最后一个音，而E则是Y集合中的最高音。也就是说，T8（X）以边缘化音符的特征强调i=8的重要性，从另一个分析层面上烘托i=3的关系，它们共同促成了（X，Y）集合中IFUNC最大值所起到的对音乐的结构作用。事实上，从“转换”角度来看，（E，F，B）就是X的另一种转换关系（谱例5），而边缘化音符所带来的听觉突出感更应该值得我们注意。

观察X8中3个音的出现顺序可发现，（B，E，F）刚好是（A，B，E）的逆行倒影。当然，在IFUNC概念里面是不赞成运用这样的关系作为分析点的，列文的“注入集合”概念专门阐述了关于倒影在“广义音程与变换”中的重要作用，笔者在已完成的论文《“转换理论”的集合分析初探——以达拉皮科拉〈安娜莉贝拉的音乐札记〉No.5为例》  中也详细分析了列文关于倒影的运用。

（二）集合（Z0，Z3）

前文提过，Z0及Z3集合是以T3关系进行移位的，因而i=3时，它们同样能够得到映射的最大值。将i值全部计算以后将得到如下结果。

i = 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

IFUNC（Z0，Z3）（i）= 0  0  2  4  2  0  0  0  2  4   2   0

此外，当i=9时候，Z0集合映射到Z3的数值同样为最大值，因此Z3=T9（Z0）。那么，对于T9的重要性，作曲家是如何通过技术手法来体现的呢？虽然从谱面来看，作曲家将T9的关系隐藏了起来，并没有显示在音乐所包含的音级中，但是这种隐藏又是不完全的，作曲家将T9的关系用在节奏效果中进行突出。比如，作曲家将Z0及Z3集合的音进行分解组合，得到了音程距离为9的配对（谱例6）。

从谱例6的组合可以看出，当对Z0及Z3集合进行首尾及中部对称的组合搭配时 ，可以得到音程距离为9的结果。对此，列文还从另一个层面进行了分析：Z0的前两个音都以直接距离  7同Z3的后两个音得到该结果，而后两个音则以直接距离3同Z3的前两个音得到该结果（谱例7），从十六分音符节奏的前后对应关系上体现了i=9的内在的影响，细分了两个音组之间的对称关系。列文对该结果做了如下解释：“这意味着：在两个间隔7个十六分音符的音之间的音高间隔距离为9。” 从这个结论可以看出，列文对于作品的音级分析是立体的、全面的，不仅仅局限于对音级音高关系的分析，还包含了节奏关系以及前后音符之间的空间距离（space），这样的分析结果让分析的立体感跃然纸上，仿佛我们在分析中也能够更好地窥探到作曲家在创作作品时的那种立体空间思维。

（三）集合（X，Z0）及（Z3，Y）

在集合关系（X，Z0）及（Z3，Y）中，整个i值的计算都没有完全等同的最大值。但巧合的是，当i=（0，5，6，11）时，X集合中会有2个音映射到Z0中，形成该集合映射的最大值;当i=（0，5，6，11）时，Z3集合中有3个音映射到Y集合中，形成该组合的映射最大值。这样的巧合，除了让我们感叹作曲家在创作时的精妙设计以外，也让我们对IFUNC于作品的细节分析有了更进一步的了解，为这一概念所带来的强大分析力所叹服。

但是，从内部结构来观察，它们的映射情况又是不同的。在X及Z0的组合中，映射的音是轮换的：当i=（0，5）时，X集合映射Z0集合的后两个音（E，A）;当i=（6，11）时，X集合映射Z0集合的前两个音（A，D）。而在Z3及Y集合中确是不同的：当i=（0，6）时，映射Y集合中的前两个音及最后一个音（B，F，F）;当i=（5，11）时，映射Y集合中的前两个音及最高音（B，F，E）。由于（Z3，Y）的映射情况不完全相同， 无法做出有效的普遍性分析，但是从（Z3，Y）的具体映射来观察，映射重复的音也符合边缘化音符的考虑结果，Y集合的第一个音、最后一个音以及最高音都在映射范围之内（谱例3）。依照列文的观点，这是集合与集合之间内部联系更加密切的具体体现。同时，Z3集合所映射到Y集合的3个音全部符合福特的音级集合理论中的3-5集合的特征，但如果仅从3-5集合的分析角度出发的话，我們就无法得到如此立体并更具逻辑性的分析结果。

结 语

通过以上分析可以清晰地看到：基于IFUNC的概念对韦伯恩的作品Four Pieces for Violin and Piano（Op.7，No.3）所做出的分析，不仅囊括了音级关系，还包含了节奏关系以及空间关系这两大重要因素，再配合列文的边缘化音符的概念，突破了传统的音级集合的分析方法，使作品分析更加深入、更加全面。这种在平面分析基础上加入的立体架构的分析，让理论分析者能够以更加立体的分析视角对音乐作品进行深层次解读。那么，我们是否可以做出推断，这样的立体架构能够让我们在分析作品时更明了作曲家立体的创作思维。这些新的分析视角有别于以往的音级分析，新的分析观点得到了新的分析结果和分析关系，这也是列文自己在书中所一再强调的。

列文在书中谈到了两方面关于IFUNC的作用：第一，IFUNC（X，Y）（i）告诉我们在集合X和集合Y的成员（元素）之间包含了多种距离i的可能性;第二，IFUNC在解释距离或节奏基础等问题上比其它方法更为细致 。从上述这两个观点，可以看出列文对于这一概念所带来的新的分析点和路径要求是非常清晰和明确的。

IFUNC在无调性集合理论中的独特分析视角和观点，为音乐作品分析注入了新的能量，它能够帮助分析者更好地架构立体分析概念，由此可能会更为贴近作曲家的创作思维，从另一种不同的角度去洞察作品带给我们的一切。但是，从目前的成果来看，在无调性音乐作品的分析中运用该理论还不是十分普遍，分析成果相对较少。笔者仅以此文抛砖引玉，期待同行在这一分析领域有更多新的探索。

本篇责任编辑 张放

参考文献：

[1]David Lewin.Generalized Musical Intervals and Transformations[M].Oxford：Oxford University Press，2011.

[2]甘芳萌.大卫·勒温“转换网络”理论研究[D].上海：上海音乐学院，2013.

[3]高畅.后调性理论基础[M].北京：人民音乐出版社，2018.

收稿日期：2019-01-05

基金项目：2016年四川音乐学院资助科研项目“大卫·列文《转换理论》中的‘距离集合研究”（CYXS2016021）。

作者简介：黄珩（1982— ），女，四川音乐学院音乐基础教育部讲师（四川成都 610021）。