利用构造法证明不等式

■河南省太康县第一高级中学

利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型。解答该题型的关键是要找出与待证不等式紧密联系的函数,然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域),从而达到证明不等式的目的,解题过程中常常需要构造辅助函数来解决。题目本身特点不同,所构造的函数可有多种形式,因此解题的繁简程度也不同,这里给出几种常用的构造技巧。

例题(2019年河南考前模拟)已知函数f(x)=ex-2。

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)证明:当x＞0时,f(x)＞lnx。

考点定位：本题第(1)问比较简单,主要是通过考查导数的几何意义求过一点的切线方程;第(2)问是利用导数研究函数的单调性、极值和最值,再由单调性来证明不等式。这是函数、导数、不等式综合中的一个难点,也是近几年高考的热点,这类题型大多是通过构造函数证明不等式,第(2)问共涉及四种方法,下面会一一介绍。

解：(1)由f(x)=ex-2,得f'(x)=ex-2。

所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

(2)共四种方法。

方法一：作差法构造函数证明。

解答提示：本题首先根据题意构造出一个函数(可以移项,使右边为零,将移项后的左式设为函数),利用导数判断所设函数的单调性,再根据函数单调性的定义,证明要证的不等式。要证f(x)＜lnx,只需证明在区间(0,+∞)上,恒有ex-2＜lnx成立,设g(x),只要证明g(x)在区间(0,+∞)上的最小值大于0即可。读者也可以设F(x)=f(x)-g(x)做一做,深刻体会其中的思想方法。

证明：当x＞0时,令g(x)=f(x)-lnx,则g(x)=ex-2-lnx,x∈(0,+∞),, 易知g'(x)在(0,+∞)上单调递增,且,则g'(x)在(1,2)上必存在一个零点,设为x0,则g'(x0)=0,即,则有x0-2=-lnx0。

当x∈(0,x0)时,g'(x)＜0,g(x)在(0,x0)上单调递减;

当x∈(x0,+∞)时,g'(x)＞0,g(x)在(x0,+∞)上单调递增。

所以g(x)≥g(x0)＞0,则有f(x)＞lnx。

方法二：寻找关联函数证明。

解答提示：由(1)可知,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为,且y=f(x)在直线的上方,若能证明y=的图像在直线的下方,就有,问题得证。

证明：①设,则g'(x)

当x=e时,g'(x)=0;当0＜x＜e时,g'(x)＞0;当x＞e时,g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,e)上是增函数,在(e,+∞)上是减函数。

当x=1时,h'(x)=0;当0＜x＜1时,h'(x)＞0;当x＞1时,h'(x)＜0。

所以h(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,则h(x)max=h(1)=0,所以成立(当且仅当x=1时取等号)。

综上,当x＞0时成立。

因为前后两次取等号的条件不一致,所以lnx＜ex-2,即f(x)＞lnx成立。

方法三：根据常用不等式构造函数。

解答提示：由不等式lnx≤x-1≤ex可知,若能证明y=lnx的图像在直线y=x-1的下方,y=ex-2的图像在直线y=x-1的上方,就有f(x)≥x-1≥lnx,问题得证。

证明：①设g(x)=lnx-x+1,则

当x=1时,g'(x)=0;当0＜x＜1时,g'(x)＞0;当x＞1时,g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数,则g(x)max=g(1)=0,所以成立(当且仅当x=1时取等号)。

②设h(x)=x-1-ex-2,则h'(x)=1-ex-2。

当x=2时,h'(x)=0;当0＜x＜2时,h'(x)＞0;当x＞2时,h'(x)＜0。

所以h(x)在(0,2)上是增函数,在(2,+∞)上是减函数,则h(x)max=h(2)=0,所以x-1≤ex-2成立(当且仅当x=2时取等号)。

综上,当x＞0时,lnx≤x-1≤ex-2成立。

因为前后两次取等号的条件不一致,所以lnx＜ex-2,即f(x)＞lnx成立。

方法四：“拆分法”构造函数证明不等式。

解答提示：当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘或相加的形式组成时,如果对其直接求导,得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉。这时可以将原不等式合理拆分为f(x)≤g(x)的形式,进而证明f(x)max≤g(x)min即可,此时注意配合使用导数工具。在拆分的过程中,一定要注意合理性的把握,一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准。

证明：①设,则g'(x)=

当x=e时,g'(x)=0;当0＜x＜e时,g'(x)＞0;当x＞e时,g'(x)＜0。

所以g(x)在(0,e)上是增函数,在(e,+∞)上是减函数,则

当x=1时,h'(x)=0;当0＜x＜1时,h'(x)＜0;当x＞1时,h'(x)＞0。

所以h(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,则

综上,当x＞0时成立,因为函数值为时两个自变量不是同一个值,所,即f(x)＞lnx成立。