小学数学单元整理复习课的设计与思考——以《圆的整理和复习》为例

⦿沈国祥

单元的整理复习课是小学数学课堂中属于比较独特但又相对重要的一类课型。独特是因为这类课既区别于新授课时充满好奇心和求知欲，又不同于练习课时内容单一和具有针对性。这类课既要将整个单元涉及到的知识点进行梳理和回顾，完成知识建构，厘清知识间的关系，还要进行一定程度的拓展和延伸，在已有的基础上有所突破，使学生有新的收获。因此，我觉得单元的整理复习课要承载起两个教学目标：一是整理，完整的梳理是这类课型不可推托的一种“使命”。只有在这类课中，学生才能以一种“会当凌绝顶”的视野和格局来看一个知识板块。二是复习，知识的应用是这类课型需要完成的“任务”。

下面以人教版(2013)数学六年级上册第5单元《圆的整理和复习》为例，谈谈对整理复习课在设计、实施、反思、改进等方面的想法。

一、经历知识整理，学会学习

2016年9月，我国发布了《中国学生发展核心素养》，其中在“自主发展”中特别提到学生应具备的关键能力——学会学习，能养成良好的学习习惯，掌握适合自身的学习方法；能自主学习，具有终身学习的意识和能力等。对于单元整理复习课来说，有必要让孩子去经历知识回顾和整理的过程，用自己喜欢的方式去架构相对完整的知识体系，建立知识间的联系，培养孩子“学会学习”的能力，为以后的学习发展打下基础。

课堂教学实录片段1：知识整理

师：……课前，老师先让同学们自己进行了整理。谁愿意上来分享你的整理。

师：说说你是从哪几方面进行整理的？

生1：我们学了圆的半径、直径、周长、面积和圆环。(介绍半径、直径概念及其关系，圆周长、面积公式，圆环面积公式)

师：你有这样整理吗？能不能给大家展示一下，从哪几方面进行整理的？

生2：我是从半径、直径、圆心，然后扇形、圆心角，最后图形之间的关系。(介绍相关概念以及计算公式。)

师：通过这样的整理，你有什么收获吗？

生3：这样条理更清晰一些。

师：谁还愿意上来分享？

……

在实际教学过程中，可以看出六年级的孩子已经掌握了基本的知识整理方法，如网络图、表格等。但从学生的反馈可以看出，因为缺少一定的指导，整理的方式大致都属于知识的简单罗列。缺少对知识之间关系的理解，也无法体现结构性。这样的整理方式，对处在小学毕业班的孩子来说，是远远不够的。

那么如何指导学生进行单元知识梳理呢？我觉得可以尝试两种形式：一是有意识的指导，给学生以范例，明晓知识整理的方法和意义，让知识体现结构和关系；二是鼓励多维思考，给学生以空间和时间，允许知识整理方法的多样化。有了这样的参考和鼓励，我想作为即将毕业的孩子，会在以后的学习中逐渐养成良好的学习习惯，掌握适合自身学习的方法，具备“乐学善学”的品质和能力。

二、架构知识体系，温故知新

(一)旋转中想象，完善认知 关于圆的定义，一般有几何说、轨迹说和集合说三种。学生在学习圆规画圆时，往往关注的是画圆的方法，而忽略圆产生的过程。因此我从圆规画圆起始时留下的两个点开始引入。通过想象，让学生体会平面上一个动点以一个定点为中心，一定长为距离旋转360度形成的轨迹就是圆周。将静止的圆转换成动态的形成过程，加深学生对于圆的认知。同时通过转换定点与动点的位置，感悟影响圆位置和大小的要素。通过点的运动轨迹和线段的运动轨迹，感悟“点动成线”和“线动成面”的现象，培养想象能力。在这个环节的学习中，学生表现出强烈的好奇心和求知欲，重新燃起对知识的学习热情。

课堂教学实录片段2：圆的复习

师：这个单元，同学们还学会了一种新的工具，是什么？用来干吗？你们都会使用圆规画圆了吗？(回顾画圆。)

师：想一想，如果针尖和笔尖定在纸上后不画，纸上会留下什么？

生1：纸上会留下两个点。

师：给这两个点命名点O和点A。

想像一下，画圆的时候，这两个点其实是怎样在运动？

生2：以O为中心，A绕O绕一圈。

师：绕一圈，是绕多少？

生2：360度。

师：哪个点的运动轨迹会形成一个圆？

生3：是点A的运动轨迹形成了一个圆。(课件演示。)

师：现在想想圆规画圆其实是怎么回事？

生4：其实就是一个点绕着另一个点旋转360度，这个点的运动轨迹就是一个圆。

……

因为借班上课，学生之前并没有接触过“旋转”，但这样的设计，学生以一种新的角度认识圆规画圆的本质，不再关注画的“结果”，而是画的“过程”，从静止的图形到动态的想象，让孩子第一次对圆的产生过程有了新的发现。这种发现，让孩子的学习积极性得到了极大的提升，复习课也不再变得枯燥乏味，而是一场新的“求知之旅”。

(二)旋转中感悟，建立联系 扇形在教学时虽然是独立的课时，但不应该孤立的去认识。扇形是圆的一部分，需要建立两者之间的关系。因此在这个环节的设计中，通过半径绕圆心旋转不同的角度，想象形成图形的特点，在动态过程中加深对扇形的认识。同时渗透极限思想，当旋转角度超过180度甚至到达359.9度时，半径绕圆心的轨迹依然是一个扇形。通过课件的演示，逐渐让学生感悟扇形与圆两者的区别和联系，为理解1/2圆、1/4圆等周长、面积的相关计算方法作出解释。

课堂教学实录片段3：扇形的复习

师：半径OA绕点O旋转几度会形成一个圆面？

生1：360度。

师：如果不到360度呢？

生2：不到360度是一个扇形。

师：旋转90度，形成的是一个？

生3：形成一个1/4圆。(课件演示。)

师：旋转180度呢？

生4：形成一个1/2圆。(课件演示。)

师：旋转270度呢？一起说。

生：3/4圆。

师：继续往下旋转，旋转到359度呢？

生：还是一个扇形。

师：怎样的一个扇形？

生5：359/360圆。

师：用了一个数据来描述。能想象一下吗？

生5：就是很接近很接近一个圆的扇形。

……

教学中，让学生想象半径绕圆心O旋转，半径扫过轨迹形成的图形。学生的想象进一步得到提升，并且在不断的旋转过程中，发现形成扇形与圆的关系，感悟扇形是圆的一部分。同时在旋转中，对影响扇形面积大小的因素也有了进一步的认识。这样的设计，更加注重知识间的变化过程和内在联系，而不是将单元的知识点进行割裂，使知识的复习更有结构性和系统性。

(三)旋转中提升，温故知新 如果说前面的设计已经给孩子的想象插上了“翅膀”，那在这里就让孩子们飞得更过瘾一些。所以，在这个环节中，设计一把“另类”的圆规(一个针尖，两个距离不同的铅笔尖)，让孩子们在已有的基础上继续想象。同时研究在旋转中影响圆环面积大小的因素：两个动点的位置关系、两个动点各到定点的距离关系等。而当这两个动点到定点的距离相等时，轨迹则会重合，又重新变成一个圆。这样的探究设计，对于孩子空间观念和想象能力的提升是非常有帮助的，也对圆、扇形、圆环三者及其关系有一个全新的认识。

课堂教学实录片段4：圆环的复习

师：现在如果给你这样一把圆规，你能画出什么图形？

生1：画出来的是一个圆环。

师：和刚才一样，如果将针尖笔尖都定在纸上，纸上会留下几个点？

生：3个点。

师：给这三个点命名为O、A、B，想像圆规画圆时，这3个点又是怎样运动的？

生2：我觉得A和B都是绕O旋转360度的。(课件动画演示。)

师：如果点A和点B不在同一条直线上，绕点O旋转，会形成什么图形？

生3：依旧是一个圆环。

师：如果点A和点B在点O的反方向呢？

生4：还是一个圆环。

师：为什么形成的都是圆环呢？

生5：因为有两个点在转，而且两个点到圆心的距离不相同。

师：什么情况下能得到一个圆？

生6：点A到点O和点B到点O的距离是一样的情况下。

……

在前面环节中，学生已经经历了“点动成线”和“线动成面”的想象，如果在这个环节中还是延续前面的设计，学生的想象会出现疲倦，学习的积极性和探究的主动性也会受到影响。因此在这个环节中，需要为孩子建立想象的“梯度”，同时让孩子在思辨中感悟影响圆环面积大小的因素，并且再次与圆形建立联系。

(四)开放式整合，发展素养 在拓展环节中，如何将已学的平面图形进行整合，并且给予学生新的思考呢？我想有两点：一是突出其他图形与圆的联系，二是设计要体现开放性。因此，在这里设计一个组合图形，通过学生的分析，体会到在与圆相关的组合图形中，半径的作用很大，它联系着其他图形的相关数据。其次阴影部分的开放性设计，能够最大程度发挥学生学习的主观能动性，对学生在“学会学习”、“实践创新”、“理性思维”、“勇于探究”、“勤于反思”、“问题解决”等一系列核心素养的发展起到积极作用。

课堂教学实录片段5：组合图形的复习

师：从这幅图中，你能找到哪些图形？

……

师：这些图形与圆分别有着怎样的关系呢？

生1：这个三角形的底是圆的直径，高是圆的半径。

……

师：这里还有一个要求：求阴影部分的面积，但没有数据。如果可以告诉你某一条线段的长度，你会选择什么？

生2：告诉我梯形的下底。

师：为什么？

生3：因为梯形的下底就等于圆直径的两倍。

师：你又回到这个圆上去了。

生4：我选择告诉我圆的半径。

师：为什么选择告诉你圆的半径？

生4：因为告诉我圆的半径，不管梯形、正方形的面积还是周长，几乎都能算出来。

……

在结束整节课的教学后，反思自己的设计、课堂执行和学生学习，基本达到了预期的教学目标，但也有很多地方存在不足，有很大的改进空间。如整节课的设计是以“旋转”为主线，加深学生对于圆、扇形、圆环的认知，除了圆的几何定义，也对轨迹定义有所了解和感悟，为后续“面动成体”(六年级下册长方形旋转成圆柱，直角三角形旋转成圆锥)作铺垫。但在三个平面图形的复习中都以“旋转”引入分析，在设计上欠缺一些变化，一开始也许能够调动起学生复习的积极性，但也可能会在重复的想象中失去探究的欲望。

小学数学的整理复习课承担着较为特殊的任务，特别是在高段，更多地关注对学生学习方法的指导和对知识结构的理解。因此，需要用更为开放、创新的设计来激起学生的探究心理，允许不同层次的孩子有不同的理解，使学生乐意参与到课堂学习中来，体现《数学课程标准》理念，面向全体学生的同时，适应学生个性发展的需要，为学生的终身学习打下良好的基础。