例谈高中数学教学中整体思维的应用

任晓松

(苏州市吴江区教研室 215200)

数学中的分析，必然要着眼于一个一个的局部，但是任何局部都不是问题本身.在所有局部分析清楚以后，也不自然导致对问题本身的认识．格式塔心理学派的核心观点是：“整体大于部分之和”，这“大于”的部分才是认识问题的最后关键．为了使这“大于”的部分得以形成，我们必须持有整体思维．即在思维中尽量保持联系的、全面的、辩证的观点，在思维的最后则必须形成整体认知．

下面结合实例从五个方面谈谈在高中数学教学中如何应用整体思维．

1 整体观察，凸显本源

一般地，问题的合理性或者说思维的无矛盾性都是基于整体而言的，整体的和谐才是无矛盾．任何矛盾也都不是对单一元素而言的，至少牵扯到矛盾的双方．由此知在实施反证法时，构造矛盾的一个特别有效的策略就是“整体构造”．

2 整体认识, 暂代细节

例2不等式logax-ln2x<4(a>0且a≠1)对任意x∈(1,100)恒成立，则实数a的取值范围为__________．

3 整体对比，凸显变化

例3已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，满足f(x+2)=f(x)，且当x∈[0,1]时，f(x)=x2-1，g(x)=log3x，则函数h(x)=f(x)+g(x)有__________个零点.

将特殊的问题还原其一般性，这让我们能站在更高的高度来观察问题的全貌，这也是整体思维处理的一种重要方式.把问题一般化，是一个还原问题全貌的过程，我们通过把握细节的变化，从而对原来的问题有更加全面、缜密、细致的认识和体会.例3问题在课堂教学中，我们可以通过几何画板的演示，通过对参数a的变化，而演示图形的变化.这个演示过程，能让学生有整体的直观感受，可以清晰的观察到零点个数从2个到1个的变化.但几何画板中呈现的变化仅是让学生产生直观，如何内化为严谨的逻辑推理，就需要我们用代数的方法去分析、推理、论证.形数必须结合，依托于数据的分析的图形才是全面的、整体的，我们的分析和思考才能做到因微而准，因微而细.

4 整体入手，以静制动

在整体思维中，从动态的环节中如何找到不变的，以静制动是其思维方式的一种重要体现.在例4中，数列的项是一个变化的过程，在无穷项的数列中的每一项都要对两种递推关系进行二选一，其不确定性给思维带来了巨大的困难．但把该数列看成一个整体，从这个大的视角出发我们很容易思考到在首个“等和关系an0+an0-1=1”之前都是“等差关系an-an-1=1”，这就是以静制动思维的体现.动态和静态是一对矛盾的统一体，动态呈现问题各个环节之间的相互联系、相互制约的关系，而我们能从动中找到不动，则可以从更高的维度分析、处理他们之间的关联，为解决问题找到突破口．

5 整体运算，把握结构

思考与分析此题的解题思路是设切线l的斜率k，得到l方程y-y0=k(x-x0)代入椭圆E的方程，消去y(或者x)，再根据直线l是椭圆E的切线，计算所得方程的Δ=0即可.但学生往往不能顺利解答，因为在联立所得方程的展开项非常多，容易算错(或者写错).同时由于项数过多，导致接下去学生无法有效的计算Δ.这里学生出现的计算问题，主要在于学生没有明晰消去y后，所得方程是关于x的一元二次方程的代数结构.如果能明确把握方程的结构，那么在运算过程中可把y-y0=k(x-x0)改写成y=kx-(kx0-y0)再代入.这个小小的改变，使得展开时按x项降次排列变得非常自然、简便，极容易按照二次项、一次项和常数项写成：

(4k2+1)x2+8k(y0-kx0)x+4(y0-kx0)2-4=0，

此解答中，可以看到算法的作用非常大，假如按公式展开，没有整体的设想，会给运算造成极大的困扰.数学需要运算，但是在运算之前首先要思考一下“算理”和“算法”，尽量简化运算，这就必须从整体对解答进行预设，合理的预设又来源于对题目的解答有清晰的分析和思考.在此过程中，要考虑代数式的结构，考虑结果的导向以及考虑数据的有效代换，这些都为简化运算、提高运算能力起了很大的作用.这里的整体思维不仅能减少运算量，更为关键地是培养学生整体分析、把握问题的能力，从而有效提升其数学运算素养.

以上五个例子，从不同的侧面来谈及高中数学教学中整体思维的引导.坚持整体思维的教学有助于学生逐步形成整体意识，从而养成学生能全面的、从全局考虑问题的习惯.这让学生不仅只看到数学问题的局部，更重要的使其会分析整体与局部、整体与结构的关系，从而把握问题的本质和规律.整体意识有助于学生用全局观念处理问题，从多个方面、多个维度研究问题，避免片面性，这对学生的学习和今后的工作都有重要的作用.