关于定常Navier-Stokes方程非协调有限元三种迭代方法的研究

高嘉伟， 张 翀， 李 剑*

(1.陕西科技大学 文理学院， 陕西 西安 710021; 2.宝鸡文理学院 地理与环境学院， 陕西 宝鸡 721013)

0 引言

有限元方法是一种高效、常用的数值方法，也是求解不可压缩流动Navier-Stokes方程(N-S方程)的基本方法.这一方法，最早由Courant[1]提出.随后，以冯康为代表的中国学者，独立于西方创立了有限元方法的数值基础[2-4].在求解N-S方程时，有限元配对的选择是多样的，其选择的关键在于是否满足inf-sup条件.关于有限元方法的完整理论，详细可参考文献[5-8].目前，已有不少有限元配对可高效求解N-S方程.然而，简单、有效的方法仍然是有限元专家关注的焦点.

近年来，利用局部稳定混合有限元求解N-S方程的方法得到了迅速发展[9-12].这与传统的稳定混合有限元法相比，低阶有限元配对的方法更简单、高效、且不受参数影响.

在有限元的选择中，由于非协调有限元比协调有限元简单，且基函数的支持集较小，同样受到专家们的广泛关注.J Li等[13]提出了一种基于两个局部高斯积分的局部稳定非协调有限元方法，利用最低阶有限元配对(P1NC-P1)求解Stokes方程，给出了非协调元适定性和收敛性的分析，最后用数值实验验证了理论的有效性.随后，L Zhu等[14]利用相应的非协调有限元法求解定常N-S方程，采用文献[13]中的技巧得到了非协调元的适定性和收敛性分析.

本文基于文献[13,14]，利用Y He等[15]提出的方法，研究了定常N-S方程的简单迭代方法、Oseen迭代方法和牛顿迭代方法的稳定性，并从数值模拟角度在收敛率、收敛速度和粘性三个方面进行了比较.数值实验印证了迭代方法的有效性，并得出粘性较大时，牛顿迭代方法的收敛速度最快，当粘性系数较小时，仅Oseen迭代方法可求解N-S方程.

1 预备知识

假设空间Ω是R2中具有Lipschitz连续边界的有界开集,考虑Ω上的定常N-S方程：

(1)

式(1)中：u=(u1,u2)表示速度场，p表示压力场，f表示外力.

V{v∈X:divv=0},

H={v∈[L2(Ω)]2:divv=0,v·n|∂Ω=0}.

给方程式(1)中的第一个和第二个方程两端分别乘以v,q利用Green公式可得连续变分问题如下：求解(u,p)∈X×M，使得对∀(v,q)∈X×M满足：

a(u,v)-d(v,p)+d(u,q)+b(u,u,v)=(f,v).

这里a(·,·)是X×X上的连续双线性形式且对∀u,v∈X,

a(u,v)=v(u,v);

d(·,·)是X×M上的连续双线性形式且对∀(v,p)∈X×M.

d(v,p)=(divv,p);

b(·,·,·)是X×X×X上的非线性项且对∀u,v,w∈X,

容易得到非线性项有如下性质：

b(u,v,w)=-b(u,w,v),

|b(u,v,w)|≤N‖u‖0‖v‖0‖w‖0,

2 非协调有限元

在本文中取速度和压力的有限元空间分别为非协调有限元P1NC：

P1NC={v∈Y:v|K∈[P1(K)]2,∀K∈Kh,

v(ξi,j)=v(ξj,i),v(ξi)=0,∀i,j},

和协调有限元P1：

P1={p∈H1(Ω)∩M:p|K∈P1(K),∀K∈Kh},

这里非协调有限元P1NC不是空间X的子空间，所以对∀i,j都有如下兼容性条件：

其中[v]=v|Γij-v|Γji.

为了简便，令(·,·)j=(·,·)Kj，〈·,·〉j=〈·,·〉∂Kj,则离散的双线性型：

非线性项定义如下：

∀u,v,w∈P1NC

利用分部积分可得

b1,h(u,v,w)=-b1,h(u,w,v)-

其中nj是∂K的外法线向量.

显然

b1,h(u,v,w)=bh(u,v,w)-

这里

进一步非线性项也满足

|bh(u,v,w)|≤N‖u‖1,h‖v‖1,h‖w‖1,h，

由于非协调有限元配对P1NC-P1不满足inf-sup条件，下面引入局部高斯稳定项Gh(p,q)[13]进行稳定，

∀p,q∈L2(Ω).

则非协调有限元稳定化方法的变分形式为：求解(uh,ph)∈P1NC×P1，使得∀(vh,qh)∈P1NC×P1满足：

ah(uh,vh)-dh(vh,ph)+dh(uh,qh)+

bh(uh,uh,vh)+Gh(ph,qh)=(f,vh).

(2)

3 三种非协调有限元迭代方法

本章主要讨论三种非协调迭代方法的有效性.

Ⅰ 简单迭代格式

(3)

Ⅱ Oseen迭代格式

(4)

Ⅲ 牛顿迭代格式

(5)

(6)

进一步再根据强唯一性可得

原式得证.

(7)

(8)

再由强唯一性和假设可得

4 数值模拟

本章主要印证三种迭代格式的有效性.取空间Ω=(0,1)2，选择停机标准为ε=10-10，令

选择真解如下：

u1=10x2(x-1)2y(y-1)(2y-1)，

u2=-10y2(y-1)2x(x-1)(2x-1),

p=10(2x-1)(2y-1).

取v=0.1时，得到三种迭代的误差如表1～3所示.由表1～3可以得出，三种迭代方法在粘性系数较大时计算结果基本相同，牛顿迭代格式的收敛速度较快，计算效率高.

选取v=1，v=0.009，v=0.03,利用标准方腔流问题检验三种迭代方法的有效性.图1～3表明，在v=1时，三种方法都是有效的，v=0.09时仅简单迭代方法失效，在小粘性v=0.03时，仅Oseen迭代方法有效.

表1 三种迭代方法的误差(1/h=40)

表2 三种迭代方法的误差(1/h=60)

表3 三种迭代方法收敛阶

(a)方腔流迭代格式Ⅰ (b)方腔流迭代格式Ⅱ

(c)方腔流迭代格式Ⅲ图1 方腔流迭代格式Ⅰ～Ⅲ

(a)方腔流迭代格式Ⅰ (b)方腔流迭代格式Ⅱ

(c)方腔流迭代格式Ⅲ图2 方腔流迭代格式Ⅰ～Ⅲ

(a)方腔流迭代格式Ⅰ (b)方腔流迭代格式Ⅱ

(c)方腔流迭代格式Ⅲ图3 方腔流迭代格式Ⅰ～Ⅲ

5 结论

本文研究定常N-S方程非协调有限元三种迭代方法的稳定性和收敛性得出:一、当粘性系数较大时，简单迭代的计算格式最简单，牛顿迭代的计算格式收敛速度最快，计算时间最少；二、当粘性系数较小时，Oseen迭代的计算效果更好.