“asinx+bcosx=c”型导数法求解对吗

叶文明 叶丽英

(浙江省松阳二中 323406)

前段时间，一个学生拿了两个题目问我(例1：已知3sinx+4cosx=5，求tanx.例2：已知4sinx-3cosx=2，求tanx).他说:“老师,这两道题除了其他一些方法外，你曾经介绍过导数法，但我用这种方法去做，例2却跟书上答案不一致，这到底是什么原因？”

三角函数是函数的一个特例，解三角函数问题，一般的思路是通过恒等变形，利用三角函数的性质求解.由于导数是研究函数性质的一种强有力工具，所以解决三角函数问题时，若能注意题目的特点，利用导数处理相关问题，不仅可以突破难点，开拓思路，提高解题效率，而且简单易懂，便于掌握.

上述两题可在教材中找到它的原型：

例3(人教版必修四P69复习参考题A组第5题)已知sinx=2cosx，求角x的三个三角函数值.

4sin2α+4sinαcosα+cos2α=5sin2α+5cos2α,

即sin2α-4sinαcosα+4cos2α=0,

∴(sinα-2cosα)2=0.

∴sin(α+θ)=-1,

解法5令2cosα-sinα=t，和已知式平方相加得5=5+t2,故t=0.

解法7事实上，本题采用导数法求解，几乎可以口算出结果，可谓别出心裁！

两边分别求导得：-sinα+2cosα=0.

回到前面，那为什么用导数法求解例1、例2时，会出现一对一错呢？

例1已知3sinx+4cosx=5，求tanx.

令f(x)=3sinx+4cosx=5sin(x+φ)=5,

∴f(x)的最大值为5，最小值为-5.

由题可知f(x)取到了最大值5，由导数的相关知识知f′(x)=0,而5 ′=0,∴例1用导数法求解正确.

例2已知4sinx-3cosx=2，求tanx.

令f(x)=4sinx-3cosx=5sin(x-φ)=2,

显然f(x)没有取到最大或最小值，从而f′(x)≠0.而2′=0,故已知等式两边同时求导不成立，所以本题采用导数法求解错误.

综上所述，对于“asinx+bcosx=c”型的题目，当a2+b2=c2时，可采用导数法解决，既快又对，否则用求导的方法解决就会出错.

考题再现：

导数是研究函数性质的一个很重要的工具，我们若能注意到三角函数的特殊性，适时地运用导数这一工具，则往往能够达到意想不到的效果，从而避免用三角公式进行繁琐的三角变换，减少计算量和题目的难度，对提高解题能力和培养创新意识具有重要意义.