解析几何中曲线过定点问题解题思考

李 伟

(辽宁省鞍山市第三中学 114000)

一、利用多项式方程理论求解思考

若实系数方程anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0=0有n+1个不同的实根，则有an=an-1=…=a1=a0=0[1].借助上述理论可求解解析几何中曲线过定点问题.

示例1 已知抛物线y2=4x，设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦长为4，证明：圆C恒过定点.

分析设圆心、半径及圆上一点，借助已知条件构造将圆上点坐标视为常量、圆心纵坐标为变量的方程，再利用上述理论得各项系数均为零，由此列方程组求解.

(1)求椭圆C的方程;(2)Q是椭圆C上不同于长轴端点的任一点，在x轴上是否存在一点D，使得直线QA与QD的斜率之积为定值?若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由.

问题(2)，设Q(x1,y1)、D(x0,0)，由题意建立关于的方程，再借助上述理论，列系数为零的方程组，即可求得定点坐标.

略解设Q(x1,y1)，D(x0,0)，斜率之积为M(定值)，

代入椭圆方程中，整理得：

二、特殊情形找点，一般情况论证的求解思考

所以，对于一般情况，只要上述点坐标有一个满足一般圆方程即可说明过定点.

三、运用曲线性质寻求特殊点，再一般情况论证的求解思考

曲线的对称性是分析处理这类定点问题要重点思考的性质.其基本思考是借助曲线对称性，判断定点存在的位置，然后进行一般性的阐述论证.

证明：当t、λ变化时，以MN为直径的圆恒过定点，并求出定点坐标.

略解由椭圆、圆及M、N两点横坐标的对称性，知以MN为直径的圆恒过的定点在x轴上.设其为P(x0,0). 由圆的性质得：

除上述想法外，还有圆系过定点、定直线问题，此类平时教学中多有渗透，在此就不逐一列举.

四、运用定点直线系方程解决直线过定点的求解思考

在直线方程y-y0=k(x-x0)中，如果k是变量，x0、y0是定值，则该直线必过定点(x0,y0).

示例5 过抛物线C：y2=4x上一点P(1,2)作斜率分别为k1、k2的两条直线l1、l2，若直线l1、l2分别与抛物线C的另一交点分别是A、B，试问：当k1k2=4时，直线AB是否恒过定点？

分析如果能把直线AB的方程写成y-y0=k(x-x0)的形式，则该必过定点(x0,y0).

在解题时有时设直线方程为y=kx+b(x=my+n)的形式，这时只要求出k或b的值，或求出k、b关系式，即可转化示例5的题型求解.

1.求动点P的轨迹E的方程;

2.若不与坐标轴平行的直线l与曲线E相交于A、B两点，且存在点D(4,0)(其中A、D、B不共线)，使得∠ADB被x轴平分，求证：直线l过定点.

对于问题2，设直线l方程：x=my+n(简化运算)，将条件∠ADB被x轴平分，等价转化为斜率之和为零，即可通过列等式代入求值的方法，求出n=1，从而，问题得以解决.

所以直线l过定点(1,0).

除上述想法外，还有定点直线系问题，此类平时教学中多有渗透，在此就不逐一列举.

五、“设而不求”解题技巧用于定点问题的求解思考

“设而不求”是解析几何中常见的解题技巧，也是高中数学中常见的解题技巧，可见“设而不求”在解决曲线过定点问题也一定有所作为.

1.求椭圆的方程;

2.设直线l经过点P且与C交于不同两点M、N，试问：在x轴上是否存在定点Q，使得直线QM与直线QN的斜率和为定值？若存在，请求出Q点坐标及定值;若不存在，说明理由.

分析(问题2)：引入斜率k为变量，借助“设而不求”的解题技巧，建立直线QM与直线QN的斜率和关于k的关系式，注意到条件直线QM与直线QN的斜率和为定值的使用，再借助于题型一解决的方法即可求得定点.

六、通过构造方程，用解方程的方法求出定点

示例8 设P是不在y轴上的一个动点，过点P作抛物线x2=4y的两条切线，切点为A、B，且PO垂直AB于Q，R为直线AB与y轴的交点.

(1)求证：R是定点，并求出R点的坐标;

分析对于问题(1)的解决，借助“设而不求”的解题思想，根据题目条件引入未知量，列出方程式，在化简、解方程中求出定点坐标.问题(2)略.

略解设P(x0,y0)、A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB直线方程y=kx+b.

由①得x0=2k⑤.

③+④得

将上述式子代入⑥中得

解之b=2.

所以R是定点，R点的坐标(0,2).

以上通过示例对解析几何中曲线过定点问题的解决进行一些探索，给出解决问题的思考，供大家借鉴.