用极限定义证明数列极限的几种方法

2019-11-22解晓娟

科技风 2019年28期

关键词：极限

摘要：在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，是研究微积分的必备工具，也是我们的教学中的重难点之一。本文简单介绍了数列极限定义证明数列极限的四种方法：直接法、适当放缩法、适当放大条件法、反证法。

关键词：极限;放缩;反证

我们知道初等数学的研究对象基本上是不变的量，而高等数学的研究对象则是变动的量。所谓函数关系就是变量之间的依赖关系，极限方法是研究变量的一种基本方法。极限概念是在探求某些实际问题的精确解答过程中产生的。我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正六边形的面积来推算圆面积的方法——割圆术[1]，就是极限思想在几何上的应用。在本文中主要介绍了几种不同的方法来加深对数列极限定义的理解和掌握.但在实际的教学中我们看到，学生在运用数列极限定义证明极限存在还是有一定的困难，这是由于学生对极限ε-N定义中的“任意”、“存在N”、“使得xn-a<ε”等术语及它们之间的关系了解的还不够完整，深刻。

首先介绍数列极限ε-N的定义[2]：设xn为以数列，如果存在常数a，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当n>N时，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就称常数a是数列xn的极限，或者称数列xn收敛SymboleB@ xn=aε>0，正整数N，当n>N时，有|xn-a|<ε。

我们应该注意到：定义中的正整数N是与任意给定的正数ε有关的，它随着ε的给定而选它。那么，要如何根据ε来确定N？N的取值是唯一的吗？这些问题都将是在解题过程中遇到的。接下来简单介绍几种常用的解题方法。

一、直接法

对常见的一些简单的极限问题可以直接由不等式|xn-a|<ε解出N。其过程如下：

首先对ε>0，从|xn-a|<ε分析出n>φ（ε），然后取N=[φ（ε）]。

SymboleB@ 1n2=0。

证明：对ε>0，由|1n2-0|=1n2<ε成立，解得n>1ε。取N=[1ε]，则当n>N时有|1n2SymboleB@ 1n2=0。

二、适当放缩法

很多时候，我们不能直接由不等式|xn-a|<ε得到N，此时我们可以采用适当的放缩，具体过程如下：首先将|xn-a|适当放大成f（n），即不等式|xn-a|0，分析出f（n）<ε成立时n所要满足的条件n>φ（ε）;最后取N=[φ（ε）]。

例2.已知xn=（-1）n（n+1）2，证明数列xn的极限是0。

证明：对ε>0，欲使|xn-0|=|（-1）n（n+1）2|=1（n+1）2<（1）1n2<（2）ε成立，由不等式1n2<ε解得：n>1ε，由于上述式子中的等式和不等号（1）对于任意的正整数n都是成立的，因此取N=[1ε]，则当n>N时，不等号（2）成立，进而上述系列等式和不等式均成立，所以当n>N时，|xn-0|<ε。

注：在利用数列极限的定义来论证某个数a是数列xn的极限时，重要是对于任意给定的正数ε，要能够指出定义中所说的这种正整数N确实存在。如果知道xn-a<ε当然也成立。若令这个量小于ε能推出符合定义要求的正整数N必定存在，就可采用这种方法。例2便是这样做的。当然，在利用极限定义证明极限时，如果能够具体找出一个满足定义要求的正整数N，那么也就证明了这种N的存在。在例2中，若设ε<1，就可取N=1。在以后的证明中，多采取这种找出一个符合定义要求的正整数N的方法。

三、适当放大条件法

有时需要对n加以限制的条件下，对|xn-a| 进行适当的放大，叫做适当放大条件法。过程如下：首先把|xn-a|作为条件适当放大成f（n），亦当n>N1时，有|xn-a|

其次对任意的ε>0，分析出f（n）<ε成立时满足的条件N2。最后：取N=maxN1，N2。

SymboleB@ n+4n2+n+1=0。

证明：当n>4时，

n+4n2+n+1-0=n+4n2+n+1

要使n+4n2+n+1-0<ε，只要使2n<ε成立，即n>2ε。故取N=max4，2ε，则当n>N时，SymboleB@ n+4n2+n+1=0。

注：对于一个有多项组成的代数式，可适当放大或者缩小为这个代数式的一部分。如：

n2+n+1>n2

n2+n+1>n

n2-n

n（n+1）2>n+1