水平井多级分段模型算法及射孔簇设计

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长江大学学报(自科版) 2019年11期

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为解决致密储层物性差、孔喉细小、非均质性严重、裂缝发育等问题，很多油田都是通过压裂进行人工造缝，采用分段多簇压裂方式，改善储层流体的渗流条件[1,2]。因此，水平井的射孔簇设计在生产实际中起着非常重要的作用。很多研究者对压裂效果进行了一些颇有成效的研究[3～5]，但在生产实际中，面对的主要问题是如何在一个水平井中设计相应的射孔簇位置，以期达到压裂效果好和费用少的目的。为了控制成本，往往会事先确定一个对应井段的射孔簇数，而为了提高压裂效率，则是希望利用测井数据等资料选取射孔簇的位置。目前，文献[6]提出了一种逐步选点的方法，中国石油集团测井有限公司新疆分公司利用人工，根据曲线的一致性和射孔簇数将井段分成若干段，然后再在段内选取较好压裂点，其工作繁琐，花费大量工时而且要求设计人员具有较为扎实的专业技术知识。为了提高效率和可行度，需要利用相应的测井资料进行自动化分段和射孔簇设计。

1 水平井多级分段模型

水平井的水平井段长度一般在1000～2000m。对致密砂砾岩油藏，一类储层50m左右一段压裂效果最好，二类储层60m左右一段压裂效果最好；对页岩油油藏，一类储层40m左右一段压裂效果最好，二储层50m左右一段压裂效果最好。

水平井的水平井段一般都有自然伽马、密度、声波时差、声波幅度等曲线，采集常规9条测井曲线，分别反映储层的岩性、物性、电性、机械特性，需要利用测井曲线来反映储层的特性，分段时需要考虑敏感因素，不同的敏感因素的作用大小不同。

不同沉积环境导致了物源、水动力条件等的不同，从而造成沉积物组合形成和层序特征的不同，反映到测井曲线上就是不同的曲线形态。目前，测井曲线的形态大致被分为箱形、钟形、漏斗形和复合形4类[7]。而在人工进行多级分段射孔簇的设计中，就是依据测井曲线的分类，把相似的曲线尽量分在同一段，然后在同一段中则依据相应的测井取线，如脆性指数等，设计射孔簇的位置。

显然，上述需要人工依据曲线形态进行分段的方法效率极为低下，并且不可避免的产生人为误差。如果能够将相似性比较自动化，就会极大提高工作效率，并能避免人为误差。

进一步分析发现，问题的实质就是对有序样品的分类。实际生产中面对的问题就是：对于给定的数据曲线{xn}，n= 1，2，3，…，N，需要将其分成k段，并要求每段内的曲线形态保持一致。由于曲线形态的定义很难参数化，需要寻求一个相对一致的判断标准对该问题进行自动化。目前一个比较有效的判断标准就是段内离差，也是最优分割[8]的一个判断标准。于是问题就变成：对于给定的数据曲线{xn}，n= 1，2，3，…，N，需要将之分成k段，并要求每段的段内离差最小。同时，为了完成射孔簇的设计，必须保证每段长短的相对平衡，所以在分段时会对每段的长度有限制，也就是每段的长度有一个最大值和最小值。由此可以得到如下数学模型：

对于给定的有序信号{xi}，i=1,2,…,n，正整数k，s1，s2，求1=a1

1)s1≤a-ai-1≤s2，2≤i≤k+1；

2 水平井多级分段模型的算法设计

有序样品的分割越来越受到重视，各种算法得到了广泛的研究[9,10]，但是生产实践的应用和推广则需要稳定正确的算法，最优分割算法就是一个较为理想的算法。最优分割是基于离差分析的对有序样品进行分割的一种统计方法。设有n个按一定顺序排列的样品，为讨论简便，假设每个样品观测了一项指标，原始资料为x1,x2,…,xn，现要在不破坏原有顺序条件下将n个样品分成若干段，比如要分成L段。最优分割算法的基本原理就是它使得各段内部样品之间的差异性最小，而各段之间的差异性最大，在地质分层等领域得到广泛应用[1,11]。其算法基本过程如下：

对{x1,x2,…,xn}确定最优L分割，可先找出前j个数的最优L-1分割的最优段内离差：

Wj(L-1;α1(j),α2(j),…,αL-2(j)) (j=n-1,n-2,…,L-1)

(1)

式中：αi(j)(j=1,2,…,L-2)表示前j个数的第i个分割点。

{x1,…,xα1(j)},{xα1(j)+1,…,xα2(j)},…,{xαL-2(j)+1,…,xj}与{xj+1,xj+2,…,xn}构成一个L分割，但不一定是最优的L分割，可选择一个使WN(L;α1(j),α2(j),…,αL-2(j),j)=Wj(L-1;α1(j),…,αL-2(j))+dj+1,n为最小的j，即得最优L分割。设j=αL-1时WN(L;α1(j),…,αL-2(j),j) 最小，即：

可得最优L分割：

{x1,…,xα1}{xα1+1,…,xα2}…{xαL-1+1,…,xn}

这个算法显然需要递归进行，其时间复杂度是指数增长的，所以当样品个数多，分段数也较多的情况下难以进行有效的计算。

对于给定的有序样品序列{x1,x2,…,xn}，为了将其分割成k段，只需选取k-1个端点，1≤a1

基于组合生成算法的最优分割算法步骤如下：

Step 1 输入分割段数k，样品数据{xi}，i=1,2,…n；

Step 2 求取离差矩阵D=(dij)n×n，dii=0，而当i与j不同时:

Step 3y1=a1=1,y2=a2=2,…,yk-1=ak-1=k-1。W=dkn；

Step 4S={j|aj

Step 5 如果S为空集，输出y1,y2,…,yk-1，算法终止，否则转Step 6；

Step 6 设i为S中的最大整数，作如下操作：

1)ai=ai+1；

2)aj=aj-1+1，j=i+1，i+1，…，k-1；

3)W1=d1,a1+da1+1,a2+…+dak-1,n；

Step 7 如果W1

为了满足约束条件，需要适当修改此算法中的分割点的取值，保证其满足对应的约束，就可以得到求解水平井多级分段模型的算法。

基于段内离差的带约束的分段算法步骤如下：

Step 1 Set={}，W=MAX_FLOAT，给定有序信号{xi}，i=1,2,…n；

Step 2 计算段直径矩阵D=(dij)n×n，其中，dii=0，而i≠j时:

Step 3a1=1,a2=a1+s1,…,aN=aN-1+s1；

Step 4 如果ai-ai-1s2转到Step 6；

Step 5W1=d1,a1+da1+1,a1+…+daN,n，如果W1

Stpe 6S={j|aj

Step 7 如果S为空集，输出Set，算法终止；

Step 8 设i为S中的最大整数，作如下操作：

1)ai=ai+1；

2)aj=aj-1+s1，j=i+1，i+2，…，N；

Step 9 回到Step 4。

基于段内离差的带约束的分段算法可以求得水平井多级分段模型的精确解(见图1)，在分段数远小于样品数(k≪n)时是个P类算法，其时间复杂度大约为O(nk)。但是在分段数较多时其时间复杂度则是指数函数，为了降低时间复杂度，可以利用二分法进行分割，其效率和实用性也得到了广泛的关注和应用[12]，但在地层的分割中效果不尽人意。

图1 基于段内离差的约束分段算法试验结果

图2 地层剖面图

如果考虑的是地层划分，如图2某区块有4个地层组成，那么②、④两层可能比较相似，但是①、②层和②、③层区分度却可能比较大，就不必进行总体划分，只需要找到当前两层的划分点即可，反映到数学上就是只需要确定当前两层的段内离差较小就行，利用该原则可以设计了一个段内离差最优分割的近似计算方法。

段内离差最优分割的近似计算方法步骤如下:

Step 1 Set={a1=1,a2,…,ak,ak+1=n}，给定有序信号{xi}，i=1,2,…n，m=1；

Step 2 计算段直径矩阵D=(dij)n×n，其中，dii=0，而i≠j时:

Step 3 如果m=k,输出Set，终止;

Step 4t=am+1=am+s1;

Step 5W=MAX_FLOAT;

Step 6 如果n-t<=s1×(k-m),转到Step 8；

Step 7 计算由t还分的第m段的离差与可能的第m+1段的离差的和W1，如果W1

Stpe 8m=m+1，返回到Step 4。

图3 水平井多级分段、射孔簇设计流程

此算法Step1、2时间复杂度是O(1)，Step4～8是O(k)，Step6、7是O((s2-s1)2)，所以其算法的时间复杂度是O(k(s2-s1)2)。

3 基于多级分段模型的射孔簇设计

应用笔者设计的算法就可以得到一个高效的射孔簇设计方法，其主要原理如下：通过选取的测井数据，对需要设计射孔簇的井段进行分段，然后选取适当的测井数据，如脆性指数等，根据实际需求，包括每段的射孔簇数，射孔簇的距离以及结箍位置等，进而计算每段中的射孔簇的位置。其流程图如图3所示, 分段数据表和射孔簇位置表样例如图4所示，射孔簇设计图如图5所示。