以渐进式核心问题驱动数学深度学习

王志南

[摘 要]

以核心问题驱动学生数学学习，可以促进学生对数学知识的深刻理解和自主建构，引领儿童走向深度学习。渐进式数学核心问题通常出现在学生“逐步逼近”数学知识本质之时，在数学教学中，教师要引领学生从验证式走向探究式，在深刻理解中拓展核心问题;以开放性问题驱动，在互动中逐步逼近核心问题;设计挑战性任务，在活动中深刻感悟核心问题。

[关键词]

渐进式;数学核心问题;深度学习

课堂教学的设计归根结底就是课堂提问的设计，如果提问过于琐碎和零散，则不利于学生的数学学习，学生的思维则会淹没在问题之中，而无法真正掌握所学内容中的核心知识。聚焦核心知识的提问即核心问题，解决好数学教与学中的核心问题，则聚焦知识本质，“纲举目张”，事半功倍。

核心问题的呈现方式是多样的，有开门见山，有引而待发，有的是老师提出，也有的由学生自主提炼。呈现的时机也不尽相同，核心问题的呈现并不一定要在课始，也不是越早越好。有时，核心问题出现在学生“逐步逼近”数学知识本质之时，我们将此类核心问题称为渐进式数学核心问题。那么，在教学实践中，如何提炼渐进式数学核心问题，推动儿童思维发展，引领儿童走向数学深度学习呢？

一、从验证式走向探究式，在深刻理解中拓展核心问题

数学知识的习得关键在于理解，只有被学生理解的数学，才会成为支撑学生以后发展的资源，被学生深刻理解的数学，才能融入学生已有的知识结构之中，使之成为知识结构中的一部分，并不断地与其他知识发生联系。某种意义上说，“学习就是理解，理解就是一个意义赋予过程，即学生必须依据自己已有的知识和经验对建构的知识作出解释，在新的学习材料与主体已有的知识和经验之间建立起实质性的联系，从而获得真正的意义。”[1]从这个意义上讲，学生获得的知识意义对学习者而言也是一种“创造性的理解”的过程。因而在教学过程中，教师设计的学生活动，不能局限于引导学生去验证已有的结论，而要将学生的学习活动设计得更为开放，让其从验证式学习走向探究式学习。

如在人教版数学六年级下册的《鸽巢问题》一课中，笔者进行了如下尝试：

【活动一】4只鸽子飞回3个鸽巢。鸽巢中的鸽子数会有多少种不同的情况呢？

1.一一列举法

①组织学生小组合作，研究鸽巢中的鸽子数一共会有几种不同的情况？

②学生汇报探究结果，揭示数学方法（板书：一一列举法）

（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）

③观察不同的方法，你有怎样的发现？

学生发现：无论怎么飞，总有一个鸽巢里至少有2只鸽子？

2.假设法

①引导：刚才我们用一一列举法获得了结论，如果想要发现这个结论，你还有其他的方法吗？怎样才能最快地知道鸽巢中鸽子的最大数至少是几？大家讨论讨论。

②解释：学生用假设法来解释所得规律中的数学道理，课件演示验证。

假设每个鸽巢先飞进1只鸽子，最多飞进3只，余下的1只鸽子可以飞进任意的一个鸽巢里，这样就会发现，不管怎么放，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子。

揭示：这种方法在数学上叫作假设法。（板书：假设法）

③追问：继续品味这种假设的方法，要想知道“鸽巢中鸽子的最大数至少是几”，在分的时候要怎样分？（尽可能分得均匀些）

④提问：假设法体现了平均分的思想，你能不能把刚才平均分的过程用算式表示出来？

……

在《鸽巢问题》一课的教学中，许多教师通常满足于让学生通过操作活动验证“四只铅笔放进三个笔筒，总有一个笔筒里至少放进2只铅笔”这一结论。由于学生在操作前就已知結论，因而学生的操作活动是浅层次的，缺乏探究的主动性。这样的验证式学习将学习目标指向结论的获得，而非深入地理解为什么会有这样的数学规律。事实上，数学理解不是简单的被动接受，往往需要学习者自己的积极、主动、有意识的思维参与。如果没有思维参与，学生难以对所学内容产生真正意义上的理解。探究式学习则更为开放，学生思维的空间更大，有助于学生深入“卷入”活动之中，促进学生对数学规律的理解和内化。

郑毓信教授认为，“创设好的数学学习情境特别重要的一环在于，教师应善于提出问题，提出具有挑战性、启发性的问题，很好地激发学生的好奇心，从而促使学生积极地去进行学习，深入地去进行思考。”[2]案例中，核心问题由“鸽巢问题中有怎样的规律”逐渐转向“鸽巢问题中为什么有这样的规律？”学生所学到的不仅是“至少数=商+1”这一结论，更指向深刻理解这一规律背后所隐藏的数学道理，实现“列举法”与“假设法”之间的融合互通。

二、以开放性问题驱动，在互动中逐步逼近核心问题

在数学教学中，开放性的问题情境有利于学生进行个性化的自主探究，对问题情境进行多层次的思考，获得多样化的解决问题的方案。尤其是，在解决与生活密切相关的复杂问题时，开放性探究有助于不同层次的学生均能寻找到解决问题的路径，在结构化的资源呈现中实现思维的互动和碰撞，寻获解决问题的最佳方案。同时，在开放性问题的探究中，学生逐渐逼近问题情境中的核心问题，化繁为简，化难为易。

如在教学“怎样租船最合理”这一经典题型时，我放手让学生自由设计租船方案。

问题情境：老师和同学共 46 人坐船游玩，每条大船可以坐 10 人，每条小船可以坐 6 人，大船每条 60 元，小船每条 40 元，怎样租船比较合理呢？

学生设计的方案如下：

生1：全部租大船，租 5 条，租金为60×5=300元。

生2：全部租小船，租 8 条，租金为40×8=320元。

生3：可以租 4 条大船，1 条小船，10×4 +6×1 = 46（人），正好可以坐满，没有浪费的位置。租金为60×4+40×1=280元。

生4：还可以租 3 条大船，3 条小船，10×3 +6×3 = 48（人），这样虽然没有多了2个位置，租金也差不多，租金是60×3+40×3=300元。

生5：我觉得正好坐满没有空位的思路挺好，我也想到了一种方法，租 1 条大船和 6 条小船，10×1 + 6×6 = 46（人），也正好可以做 46 人，租金是60×1+40×6=300元。

师：同学们设计出来了不同的租船方案，你觉得哪种方案最合理呢？

生1：我觉得最合理的方案是刚好坐满没有空位的那种。

生2：我觉得设计方案时不仅要考虑尽可能不要有空位，还要看谁的租金最少才是最合理的。上面的方案3和方案5都没有空位，但方案3花钱最好，所以最合理。

师：说得真好，观察方案3和方案5，都是正好坐满无空位，请大家思考为什么方案3花钱更少呢？

生：我发现方案3租的大船多，小船少。而如果算一下坐大船的同学租金单价是60÷10=6元，坐小船的同学租金单价是40÷6≈6.7元，租大船平均每人的租金便宜，因此要优先租用大船。

上述教学片断中，教师并没有直接抛出核心问题：“怎样租船最合理呢？”而是设计开放性的问题情境，启发学生从不同角度进行思考，设计不同的租船方案，学生在比较中优化设计，寻找最合理的方案。案例中，核心问题的提出是渐进的、学生自主的需求，核心问题的提炼犹如“洋葱剥皮”，在层层推进中愈加凸显其对学生的思维推动作用。事实上，“怎样租船最划算”这一问题对学生而言是较为复杂的，因而教学时不必急于把问题说透，而是要留有学生开放性探索的空间，让每一个层次学生都能设计出一两种方案，并有自己的思考。在此基礎上进行优化，核心问题“哪种方案最合理呢？”的提出就显得水到渠成。在学生发现最合理的方案后，再次引导学生思考：两种方案都没有空位，为什么方案3更划算呢？进而引导学生发现，大船平均每人的租金便宜，因此租船时要遵循“优先租大船”原则。

核心问题采用渐进式的呈现方式，可以促进学生在开放性的探究中不断逼近核心问题，不断逼近数学核心知识。同时，正因为核心问题的渐进呈现，学生对问题的探索与理解处于一种积极的情感体验之中，学生学的不仅某一解题方法，更有数学探究所带来的愉悦体验。

三、设计挑战性任务，在活动中深刻感悟核心问题

我们时常发现，一些重要的数学规律、法则虽然教师在教学中反复强调，在实际应用时还是有许多学生容易遗忘或是应用时有困难。究其原因，这些规律、法则的获得过程往往是通过浅层次的被动学习（听讲、阅读、视听、演示等）所获得，未能激发学生情感的参与和深层次的学习体验。脑科学研究表明，“当事实和技能镶嵌在自然的空间记忆中时，我们就能最佳地理解和记忆。”[3]将空间记忆与动手操作相结合，将极大地提升脑的效能。数学教学中，教师应有意识地设计富有挑战性的学习活动，引导学生在活动中感悟数学规律，把握数学本质。

如教学《表面涂色的正方体》时，许多教师设计本课时，往往急于引导学生发现表面涂色正方体中各种小正方即体的个数，探究其中的规律，乃至用字母式表示规律。特级教师华应龙在教学本课时，华老师的设计则显得不是那么“急于求成”，他精心准备了棱长为3厘米的表面涂色的正方体积木，将其打乱，让学生去尝试将其复原成正方体。

挑战性任务：看哪一组动手能力最强，能在最短时间将正方体还原。

（1）小正方体有几种？

（2）每种小正方体各有多少个？

（3）每种小正方体分别在大正方体的什么位置？

在引导学生交流研究结果后，华老师再次引导学生结合直观图观察和思考“棱长4厘米的正方体中每种小正方体各有多少个？”“棱长5厘米的正方体中每种小正方体各有多少个？”然后，再次组织学生尝试将棱长为3厘米的正方体积木还原。

教学中，华老师设计了三次“比一比”，用来认识“表面涂色的正方体”。事实上，将表面涂色的正方体还原对学生而言是有难度的，原因在于，如果不把握表面涂色正方体的排列规律和内部结构，是无法将其还原的。另外，如果一个小正方体的位置放错，就不好再继续拼了。三次“比一比”，第一次，2分钟时间，比一比哪组同学动手能力强？第二次，2分钟时间，比一比哪组同学表现最棒？第三次，明天的课上比一比哪组同学用时最少？试想，下课后学生是不是会欲罢不能，继续“玩”下去？这样一遍又一遍地玩过之后，“表面涂色的正方体”的规律、特征是不是会深深地映刻在学生脑海里？

罗杰斯说：“真正能够影响一个人的行为的知识，只能是他自己亲身经历并加以同化的知识，凡是可以教给别人的结果性知识相对来说都用处不大。”案例中，华老师教学时并没有直接出示本课的核心问题：每种小正方体的摆布有怎样的规律？在第一课时结束时也未组织学生总结“表面涂色的正方体中小正方体的个数规律”，许多教师颇感不解，学了一课，未总结其中的数学规律总感觉不完整，有些别扭。事实上，华老师虽然没有抛出核心问题：“表面涂色的正方体”中各种小正方体有怎样的规律？但学生对这一规律的理解和研究又是无处不在，将规律的探索蕴含于操作实践之中，探明小正方体的摆布规律及内在结构成为学生的内在需求。组织学生挑战将“棱长为3厘米的表面涂色正方体积木还原”这一活动极具创意，教师没有顺着教材思路让学生去观察、发现，而是“倒过来干”，设计挑战性任务激发学生探究需求，以有挑战的操作活动来促进学生走向分析、评价、创造等高阶思维。三次“比一比”，不是简单的重复，而是经历思维的梳理和认识的清晰的过程。本案例又给我们这样一条启示：数学学习的重要规律的探索不必急于求成，要“善留白，缓说破”，“捂紧盖子”，给予自主探索与感悟的时间和空间，引领学生对核心问题进行深入、充分地探究，获得感性、丰富而深刻的数学活动经验，进而使数学规律得以真正地理解和内化。

[参 考 文 献]

[1]张桂春.激进建构主义教学思想研究[M].大连：辽宁师范大学出版社，2002.

[2]郑毓信.新数学教育哲学[M].上海：华东师范大学出版社，2015.

[3]雷纳特·N.凯恩等，吕林海译.创设联结：教学与人脑[M].上海：华东师范大学出版社，2004.

（责任编辑：李雪虹）