解析高中数学分类讨论思想的合理应用

王蓓

分类讨论思想指的是把所研究的问题根据题目特点和要求，分为多个类别，将其转化成若干个小问题逐一解决，逻辑性相当强.在高中数学课程教学中，合理应用分类讨论思想是一种常规教学方法，能够有效发展与锻炼学生的严谨性、条理性思维，将数学问题由复杂化变得简单化，困难问题变得容易化，增强他们分析和解决问题的能力，提高解题正确率.

一、借助数学基础知识要点，实时渗透分类讨论思想

针对学生而言，要想形成一种数学思想，短时间内是很难实现的，需要在日常学习中不断积累和沉淀，在日积月累中掌握某一数学思想.在高中数学教学过程中，如何合理应用分类讨论思想同样无法一蹴而就，教师需要充分借助各个数学基础知识中的各个要点，不过要坚持循序渐进的原则逐步引入，并在恰当时机选择难易程度适当的问题引领学生思考与探索，帮助他们逐渐掌握分类讨论思想，且学会合理运用分类讨论的方式分析和解决数学问题.

例如，在进行“点、线、面之間的位置关系”教学时，教师在多媒体课件中出示一些建筑物的图片，如，天安门、人民英雄纪念碑、水立方、埃菲尔铁塔、伦敦大本钟等，提问：“空间中直线与平面有多少种位置关系？”引领学生观察与思考这些实物，使其直观、准确地归纳出直线与平面有三种位置关系：直线在平面内，有无数个公共点;直线与平面相交，有且只有一个公共点;直线在平面平行，没有公共点.接着，组织学生观察、思考生活实例和长方体模型，使其准确归纳出两个平面之间有两种位置关系：两个平面平行，没有公共点;两个平面相交，有且只有一条公共直线.指出：画两个相互平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行.

在数学教学中，教师要结合教学中基础性的数学知识，实时渗透分类讨论思想，在无形中产生熏陶，让学生利用类比和分类讨论的方法进行思考和学习，他们能够很快地理解与掌握新内容，不断生发出强烈的数学学习自信.

二、适当加强课堂教学引导，深化分类讨论思想认知

现阶段，在新课程改革背景下，明确指出学生才是课堂活动的主体，教师在日常教学中要做好引导者和辅助者的工作，充分发挥他们的主观能动性.在高中数学课堂教学中，教师应基于新课改视角出发，以本节课的具体教学内容为切入点，结合学生的固有的知识基础与学习经验，引领他们独立思考、合作探究数学问题.在这一过程中，使学生学会主动对问题进行分类讨论，帮助学生找出问题的突破口与重点，以此深化他们对分类讨论思想内涵的认知.

例如，在学习“集合”时，教师设置课堂练习：已知集合A={x||x|≤4}，B={x||x-3|≤a}，若AB，求实数a的取值范围.解析：当a<0时，B=，符合题意;当a≥0时，B≠，B={x|3-a≤x≤3+a}，根据AB得到3-a≥-4，3+a≤4， 解得0≤a≤1，所以a≤1.又如，设A={x|-2≤x≤a}，B={y|y=2x+3，且x∈A}，C={z|z=x2，且x∈A}，如果上CB，求实数a的取值范围.解析：有y=2x+3在[-2，a]上是增函数，得出-1≤y≤2a+3，即B={y|-1≤y≤2a+3}，画出z=x2的图像，该函数定义域右端点x=a有多同情况，分别为：-2≤a<0，0≤a≤2，a>2，a<-2，通过逐类分析解决.

教师是课堂学习的主导者，特别是数学课堂，教师更应针对学生的学习实际，巧妙引导，为学生的思维拨开迷雾.在教师的有效引导下，学生能够深刻认识数学分类讨论思想的本质和内涵，使其学会辩证地看待问题，让他们针对不同情况进行有意识地讨论、分析和解答，求出完整答案.

三、积极开展解题实践活动，合理运用分类讨论思想

数学知识具有相当强的实用性，与学生的实际生活有着密切联系，他们在课堂上学习完理论知识后，还需进行实践解题，增强和提高自身的问题解决能力.在高中数学课程教学中，涉及的数学思想方法多种多样，分类讨论思想只是其中之一，要想真正做到合理运用，教师应该积极开展解题实践活动，为学生提供大量的练习机会，指导他们借助分类讨论思想的优势分析和解决数学问题，借此锻炼其解题能力，最终能够合理运用分类讨论思想.

例如，在展开“函数”教学时，由于学生对函数知识已有一定的了解，积累相应的学习经验、方法与技巧，教师可以据此先设置一道有关函数的实践问题：已知函数f（x）=x6-x3+x2-x+1是一个实函数，证明：f（x）的值恒为正数.学生在解答这一函数问题过程中，教师需要组织他们对问题进行分类讨论，使其最终得出：假如把变量x在实数范围内进行分类，对x的所有不同取值逐一进行证明，证明：当x<0时，f（x）各项都是正数，所以得出当x<0时，f（x）为正数;当0≤x≤1时，f（x）=x6+x2（1-x）+（1-x）>0;当x>1时，f（x）=x3（x3-1）+x（x-1）+1>0，综上所述，f（x）的值恒为正数.

在上述案例中，主要考查学生对函数值的判断，他们可以采用分类讨论思想进行分析，从而完全归纳推理证明函数问题，快速求解答案，使其进一步认识分类讨论思想.

在高中数学教学中，是否能够合理运用分类讨论思想相当关键，教师要善于利用各个契机融入分类讨论思想，关注和增强课堂引导，并为学生准备恰当的习题进行实践练习，使其亲身体验到分类讨论思想的妙用，进而提高他们的学习能力.