以圆为背景的比值问题

文洪高峰

（作者单位：江南大学附属实验中学）

圆具有轴对称性、中心对称性以及旋转不变性，有很多性质隐藏其中，千变万化。在圆背景下，解决比值类问题具有一定难度，需要同学们具备综合分析和灵活运用的能力。纵观近年中考试题，多地考查“以圆为背景的比值问题”，不少问题作为压轴题呈现，能较好地考查同学们的综合素养。下面结合具体问题，谈一谈如何解决此类问题。

例1 （2019·苏州）如图1，AB为⊙O的直径，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F。

图1

（1）求证：DO∥AC；

（2）求证：DE·DA=DC2；

【分析】第（1）问根据直径所对的圆周角是直角以及等弧所对的圆心角相等、等腰三角形三线合一定理即可求解；第（2）问利用等弧所对的圆周角相等及相似形知识求解；第（3）问三角函数值作为求解的条件和结论，本质是运用和探求比值。因为初中数学中三角函数的定义与运用都是借助直角三角形，所以寻找、构造直角三角形就显得尤为重要。我们通过补齐图形，把问题放在等腰三角形和直角三角形中，先利用比值设辅元，再利用等面积法、勾股定理求线段长，最终问题得以解决。

（1）证明：如图2，连接OC，

∴∠COF=∠BOF。

又∵OC=OB，

∴OD⊥BC，即∠OFB=90°，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，∴∠OFB=∠ACB，

∴DO∥AC。

图2

（3）解：如图3，连接BD并延长，交AC的延长线于点G。

图3

【点评】三角函数值作为条件和求解结论，相当于知道一个比值，求另一个比值。根据三角函数的定义，要将问题放置在直角三角形中解决，所以首先想到的是寻找直角三角形或构造直角三角形。比值作为条件，可以利用比值设辅助未知数；比值作为求解结论，可以在某一直角三角形中求相关边长，然后再求比值。

例2 （2019·连云港）如图4，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以点C为圆心作⊙C与直线BD相切，点P是⊙C上一个动点，连接AP交BD于点T，则的最大值是 ____。

图4

【分析】此题求比值的最大值，难度偏大。如图5，如果作P虽可以转化，但于事无补。所以尝试将问题转化，将求如图6，作PG∥AD，将比值转化成，由于AD是定值，则比值的最值问题就最终转化为线段的最值问题，再作PQ⊥BD，进一步将问题转化为⊙C上的点到直线BD上的点的最大距离问题。

图5

图6

解：如图6，作PG∥AD，交BD于点G，

作PQ⊥BD，垂足为Q，

作CE⊥BD，垂足为E，

【点评】此题是将比值的最值问题，通过构造平行线，转化为其他线段的比值问题。利用已知条件中线段长，进一步将比值的最大值问题转化为线段的最大值问题，最后通过作垂线转化为圆上的点与已知直线上的点之间的最大距离问题。同样，我们可以过点P作AB的平行线进行转化，请同学们自行完成。

在圆的背景下探求比值，虽说有一定难度，但是问题本身指向非常明确，主要使用转化思想将复杂问题转化为常规问题。上面两个典型例题或通过设辅助未知数，将问题转化为求未知数之间的关系问题，或化动为定，将求比值的最值问题转化为求线段的最值问题。转化思想是解决数学问题的重要思想，包含了数学特有的数、形、式的相互转换，同学们要善于运用转化的思想与方法化繁为简，化难为易。