几种常见的有关圆的最值问题

文石爱英

（作者单位：山东省东营市胜利第六中学）

有关圆的最值问题，在中考中常常以选择、填空的形式出现，这类试题“小而精”，但涉及的知识面广，综合性强。很多同学对解决这类问题常会感到束手无策。本文以常见的几种类型入手，带大家一起感悟解决这类问题的思路和方法。

一、利用垂线段最短求最值

例1 （2019·嘉兴）如图1，在⊙O中，弦AB=1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于D点，则CD的最大值为_______。

图1

【分析】首先连接OD，因为OC⊥CD，根据勾股定理得CD2=OD2-OC2，因为OD是定值，所以当OC最小时，CD取到最大值。

解：连接OD，∴OC⊥CD，

根据勾股定理，有CD2=OD2-OC2，

∵OD是定值，

∴当OC最小时，CD最大，此时D与B重合，

【点评】本题考查了垂径定理以及勾股定理，难度适中。掌握辅助线的作法，得到当OC⊥AB时，OC最短是关键。

二、利用对称求最值

例2 如图的直径是AB上一动点，则CM+DM的最小值是cm。

图2

【分析】如图3，作点C关于AB的对称点C′，连接C′D与AB相交于点M，根据轴对称确定最短路线问题，点M为CM+DM最小时的位置，根据垂径定理可得然后求出C′D为直径，从而得解。

解：作C关于AB的对称点C′，连接C′D，与AB相交于点M，如图3，此时，点M为CM+DM最小时的位置，由垂径定理得

图3

∴C′D为直径，

∴CM+DM的最小值是8cm。

【点评】本题考查了用轴对称确定最短路线问题、垂径定理，熟记定理并作出图形，判断出CM+DM的最小值等于圆的直径的长度是解题的关键。

三、利用坐标求最值

例3 如图4，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是___。

图4

【分析】首先得到AB=AC=a，根据条件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上的点P到点A的最大距离即可解决问题。

解：∵A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a＞0），

∴AB=1-（1-a）=a，CA=a+1-1=a，

∴AB=AC，连接PA。

∵∠BPC=90°，

∴PA=AB=AC=a，

如图4，延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，

∵A（1，0），D（4，4），

∴AD=5，

∴AP′=5+1=6，

∴a的最大值为6。

故填6。

【点评】本题重点考查了与圆有关的位置关系，抓住“过圆心与某点连接的直线的交点构成极值”是解决问题的关键。

四、构造相似三角形求极值

例4 问题提出：如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半径为2，P为圆上一动点，连接AP、BP，求AP+的最小值。

图5

尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路。

如图6，连接CP，在CB上取点D，使CD=1，

又∵∠PCD=∠BCP，

∴△PCD∽△BCP，

图6

图7

【分析】尝试解决：连接AD，AP+最短为

图8

拓展延伸：延长OA到点E，使CE=6，连接PE、OP，可证△OAP∽△OPE，得到 EP=2PA，得到 2PA+PB=EP+PB，当E、P、B三点共线时，得到EP+PB最小值。

图9

解：

又∵∠PCD=∠ACP，

∴△PCD∽△ACP，

∴EP=2PA，

∴2PA+PB=EP+PB，

【点评】本题是一道综合题，重点考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质、极值的确定，还考查了同学们的阅读理解能力，解本题的关键是根据材料构造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE，这也是解决本题的难点。